Fungsi Sinusoidal: Amplitudo, Periode, dan Pergeseran Fase, Grafik Interaktif

01

Fungsi sinusoidal dalam visualisasi ini

Fungsi sinusoidal, atau sinusoid, adalah fungsi berbentuk $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ dengan $A \ne 0$ dan $\omega > 0$ : grafik $\sin x$ yang diregangkan, dimampatkan, dan digeser. Juga ditulis $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , dengan $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ . Kurva kosinus juga sinusoid, karena $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . Panel mengatur $A$ dan $\omega$ dengan kenop ( $\omega$ dari ½ sampai 4), serta pergeseran $-\varphi/\omega$ dan $k$ dengan penggeser.

Kurva putus-putus adalah induk $y = \sin x$ ; kurva utuh adalah fungsi pada panel. Tanda kuning mengukur apa yang ditentukan parameter, masing-masing satu tugas:

Empat parameter, empat tugas

\text{amplitudo} = |A|, \quad \text{periode} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{pergeseran} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{garis tengah } y = k\text{.}

Kurung vertikal membentang dari garis tengah ke puncak (ke lembah saat $A < 0$ ). Kurung horizontal membentang satu periode. Panah sepanjang garis tengah berjalan dari $x = 0$ ke $x = -\varphi/\omega$ , tempat siklus sin x kini bermula. Titik biru adalah lima titik penting siklus itu, saat $\omega x + \varphi$ sama dengan $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ dan $2\pi$ : awal, ekstremum $y = k + A$ , garis tengah, ekstremum $y = k - A$ , dan akhir — puncak dahulu lalu lembah saat $A > 0$ , sebaliknya saat $A < 0$ .

02

Hal yang perlu diperhatikan

Di dalam kurung, perubahan bekerja menyamping dan tampak terbalik: $\omega = 2$ memperpendek periode ( $\pi$ , bukan $4\pi$ ), dan $\varphi$ negatif menggeser kurva ke kanan.
Memutar $\omega$ memampatkan atau meregangkan kurva terhadap awal siklusnya, $x = -\varphi/\omega$ : halaman mempertahankan pergeseran itu saat $\omega$ diputar, sehingga $\varphi = -\omega\cdot(\text{pergeseran})$ ikut berubah.
Kurva berayun antara $k - |A|$ dan $k + |A|$ , dengan garis tengah di antaranya. $A$ negatif membaliknya terhadap garis tengah; amplitudonya tetap $|A|$ .

03

Cara membaca dengan benar

Pergeserannya $-\varphi/\omega$ , bukan $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ adalah $\sin 2x$ yang digeser $\pi/3$ ke kanan. Menggeser dahulu juga bisa: geser $\sin x$ sebesar $-\varphi$ , lalu bagi koordinat x dengan $\omega$ , yang juga membagi pergeserannya.
Periode hanya bergantung pada $\omega$ , amplitudo hanya pada $A$ . Dengan $A = 0$ , fungsi adalah konstanta $k$ : amplitudo 0, tidak ada osilasi, dan tanpa periode terkecil, sehingga periode dan $\varphi$ terbaca sebagai tanda pisah. $\varphi$ dihitung dari pergeseran dan tidak direduksi ke interval tertentu; $\varphi$ dan $\varphi + 2n\pi$ menggambar kurva yang sama.
Halaman ini mempertahankan $\omega$ positif. $\omega$ negatif tidak menambah hal baru: karena $\sin(-u) = -\sin u$ , ganti $\omega$ dengan $|\omega|$ , $A$ dengan $-A$ , dan $\varphi$ dengan $-\varphi$ .

04

Membuat sketsa lewat titik penting

Menetapkan $\omega x + \varphi$ ke $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ memberikan $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ dengan $s = -\varphi/\omega$ dan $T = 2\pi/\omega$ , dan di sana $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Memplot lima titik ini lalu menghubungkannya dengan mulus adalah cara biasa membuat sketsa satu siklus dengan tangan. Tabel Titik penting pada panel mencantumkannya untuk fungsi pada panel; arahkan penunjuk ke kolom untuk menyorot titiknya pada grafik.

05

Kontrol

$A$ dan $\omega$ pada kenop; pergeseran $-\varphi/\omega$ pada penggeser menyamping ( $-\pi$ hingga $\pi$ , melekat pada kelipatan $\pi/12$ ), dan $k$ pada penggeser naik-turun — sesuai gerak kurva. Klik nilai untuk mengetiknya (pergeseran menerima π/6, 2π/3, -pi/4, atau radian). Di bawah pergeseran, “≡” memberi pergeseran kurva yang sama ke arah sebaliknya: pergeseran yang berselisih satu periode penuh menggambar satu kurva.
Pada grafik, seret awal siklus untuk menggeser kurva, ekstremum pertamanya naik atau turun untuk mengubah $A$ , dan ujungnya menyamping untuk mengubah periode.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (← → menggeser kurva sebesar $\pi/12$ , ↑ ↓ menggeser garis tengah sebesar 0.5, H menyembunyikan nilai terukur).

06

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Sine wave (Bahasa Inggris); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (Bahasa Inggris).