Fonction sinusoïdale : amplitude, période et déphasage, graphique interactif

01

Les fonctions sinusoïdales dans cette visualisation

Une fonction sinusoïdale, ou sinusoïde, est une fonction de la forme $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ avec $A \ne 0$ et $\omega > 0$ : la courbe de $\sin x$ étirée, comprimée et translatée. Elle s’écrit aussi $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , avec $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ . Les courbes du cosinus sont aussi des sinusoïdes, car $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . Le panneau règle $A$ et $\omega$ avec des boutons ( $\omega$ de ½ à 4), et la translation $-\varphi/\omega$ et $k$ avec des curseurs.

La courbe en pointillés est la référence $y = \sin x$ ; celle en trait continu est la fonction du panneau. Les repères jaunes mesurent ce que fixe chaque paramètre, un rôle chacun :

Quatre paramètres, quatre rôles

\text{amplitude} = |A|, \quad \text{période} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{translation} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{ligne médiane } y = k\text{.}

L’accolade verticale va de la ligne médiane à un maximum (à un minimum lorsque $A < 0$ ). L’accolade horizontale couvre une période. La flèche sur la ligne médiane va de $x = 0$ à $x = -\varphi/\omega$ , où commence désormais le cycle de sin x. Les points bleus sont les cinq points remarquables de ce cycle, où $\omega x + \varphi$ vaut $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ et $2\pi$ : début, extremum $y = k + A$ , ligne médiane, extremum $y = k - A$ et fin — maximum puis minimum lorsque $A > 0$ , l’inverse lorsque $A < 0$ .

02

À observer

À l’intérieur des parenthèses, les changements agissent horizontalement et semblent inversés : $\omega = 2$ raccourcit la période ( $\pi$ , pas $4\pi$ ), et un $\varphi$ négatif déplace la courbe vers la droite.
Modifier $\omega$ comprime ou étire la courbe autour du début de son cycle, $x = -\varphi/\omega$ : la page conserve cette translation pendant que $\omega$ varie, donc $\varphi = -\omega\cdot(\text{translation})$ change avec lui.
La courbe oscille entre $k - |A|$ et $k + |A|$ , avec la ligne médiane à mi-hauteur. Un $A$ négatif la retourne par rapport à cette ligne ; l’amplitude reste $|A|$ .

03

Bien lire le graphique

La translation vaut $-\varphi/\omega$ , pas $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ est $\sin 2x$ translatée de $\pi/3$ vers la droite. Commencer par la translation fonctionne aussi : déplacez $\sin x$ de $-\varphi$ , puis divisez les abscisses par $\omega$ , ce qui divise aussi la translation.
La période ne dépend que de $\omega$ , l’amplitude que de $A$ . Avec $A = 0$ , la fonction est la constante $k$ : amplitude nulle, aucune oscillation et aucune plus petite période ; la période et $\varphi$ affichent donc des tirets. $\varphi$ est calculé à partir de la translation sans être ramené à un intervalle ; $\varphi$ et $\varphi + 2n\pi$ tracent la même courbe.
La page garde $\omega$ positif. Un $\omega$ négatif n’ajoute rien : puisque $\sin(-u) = -\sin u$ , remplacez $\omega$ par $|\omega|$ , $A$ par $-A$ et $\varphi$ par $-\varphi$ .

04

Esquisser avec les points remarquables

Fixer $\omega x + \varphi$ à $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ donne $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ avec $s = -\varphi/\omega$ et $T = 2\pi/\omega$ , et à ces points $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Placer ces cinq points puis les relier par une courbe régulière est la méthode habituelle pour esquisser un cycle à la main. Le tableau Points remarquables du panneau les donne pour la fonction actuelle ; pointez une colonne pour illuminer son point sur le graphique.

05

Commandes

$A$ et $\omega$ sur des boutons ; la translation $-\varphi/\omega$ sur un curseur horizontal (de $-\pi$ à $\pi$ , alignement sur les multiples de $\pi/12$ ) et $k$ sur un curseur vertical — dans le sens du déplacement de la courbe. Cliquez sur une valeur pour la saisir (la translation accepte π/6, 2π/3, -pi/4 ou des radians). Sous la translation, « ≡ » donne le décalage de la même courbe dans l’autre sens : des translations séparées d’une période entière tracent la même courbe.
Sur le graphique, déplacez le début d’un cycle pour translater la courbe, son premier extremum verticalement pour modifier $A$ , et sa fin horizontalement pour modifier la période.
Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (← → translatent la courbe de $\pi/12$ , ↑ ↓ déplacent la ligne médiane de 0.5, H masque les valeurs mesurées).

06

Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Sine wave (Anglais); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (Anglais).