Mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple est le mouvement d’une masse sous une force de rappel proportionnelle à son déplacement : $m x'' = -k x$, ou $x'' = -\omega^2 x$ avec $\omega = \sqrt{k/m}$. Toute solution est $x = A\cos(\omega t - \varphi)$, et sa période $T = 2\pi/\omega$ ne dépend pas de l’amplitude A. On l’écrit aussi souvent $x = A\sin(\omega t + \varphi)$, avec une autre phase. La page en montre la raison pour une masse sur un ressort et compare avec un pendule.

Les trois couches partagent un même axe des x. Dans le plan de phase, l’état est le point (x, v/ω). Sa vitesse y a deux composantes, v horizontalement et a/ω = −ωx verticalement ; ensemble, elles sont toujours perpendiculaires au rayon et ω fois plus longues. Chaque point du plan tourne donc autour du centre à la même vitesse angulaire ω, comme un disque. La masse sur le rail est la projection du point sur l’axe des x, d’où le cosinus pour x ; la distance au centre est l’amplitude, la direction est la phase, et le carré du rayon multiplié par ½k est l’énergie — part du ressort ½kx², part du mouvement ½k(v/ω)². Diviser v par ω rend l’orbite circulaire : avec v seul, ce serait une ellipse, et le point ne tournerait pas uniformément. La bande de papier sous le plan enregistre x en fonction du temps, avec une graduation tous les 0.1 s et une marque à chaque passage par zéro ; les passages se produisent tous les T/2, quelle que soit l’amplitude, et les marques d’un second oscillateur s’alignent sur celles du premier.

Le pendule obéit à $s'' = -g\sin(s/L)$, avec la longueur d’arc $s = L\theta$ : la force n’est pas proportionnelle à s, donc le mouvement n’est pas harmonique simple. Ses courbes d’énergie dans le plan (s, ṡ/ω₀) sont des ovales, pas des cercles, et sa période augmente avec l’amplitude, $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, soit environ $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ pour une petite amplitude $\theta_{\max}$ en radians, où $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. Ici, $\theta_{\max}$ est l’amplitude fixée par l’énergie ; elle égale l’angle initial seulement si le pendule part sans vitesse. La bande du pendule est une solution numérique, vérifiée par cette période exacte ; celle du ressort est la solution exacte. Au-delà de la séparatrice en pointillés, le pendule fait un tour complet ; cette page limite l’amplitude à 170°.