簡諧運動

簡諧運動是質點在與位移成正比的回復力下的運動：$m x'' = -k x$，或 $x'' = -\omega^2 x$，其中 $\omega = \sqrt{k/m}$。每個解都是 $x = A\cos(\omega t - \varphi)$，週期 $T = 2\pi/\omega$ 不依賴振幅 A。也常寫為 $x = A\sin(\omega t + \varphi)$，使用另一個相位。本頁以彈簧質點說明原因，並與單擺比較。

三層共用同一條 x 軸。在相平面上，狀態是點 (x, v/ω)。它在這個平面上的速度分成水平的 v 與垂直的 a/ω = −ωx；合起來始終垂直於半徑，長度為半徑的 ω 倍，因此平面上每個點都以相同角速度 ω 繞中心旋轉，如同唱片。滑軌上的質點是該點在 x 軸上的投影，所以 x 是餘弦函數；距中心的長度是振幅，方向是相位，半徑平方乘 ½k 是能量——彈簧部分為 ½kx²，運動部分為 ½k(v/ω)²。把 v 除以 ω，軌道才成為圓；若直接使用 v，就會是橢圓，轉動也不均勻。平面下的紙帶記錄 x 隨時間的變化，每 0.1 s 一格，通過零點時另做標記；無論振幅如何，每 T/2 通過一次零點，第二個振子的標記也與第一個對齊。

單擺滿足 $s'' = -g\sin(s/L)$，弧長為 $s = L\theta$：力不與 s 成正比，因此不是簡諧運動。它在 (s, ṡ/ω₀) 平面上的等能量曲線是卵形而非圓，週期隨擺幅增加，$T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$；對以弧度表示的小擺幅 $\theta_{\max}$，約為 $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$，其中 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$。這裡的 $\theta_{\max}$ 是由能量決定的擺幅，只有擺錘從靜止開始時才等於初始角度。單擺紙帶是數值解，並以精確週期核對；彈簧紙帶則是精確解。越過虛線分界軌道後，單擺會翻越最高點；本頁把擺幅限制在 170° 內。