Basit harmonik hareket

Basit harmonik hareket, yer değiştirmesiyle orantılı geri çağırıcı kuvvet altındaki kütlenin hareketidir: $m x'' = -k x$ veya $\omega = \sqrt{k/m}$ ile $x'' = -\omega^2 x$. Her çözüm $x = A\cos(\omega t - \varphi)$ biçimindedir; $T = 2\pi/\omega$ periyodu A genliğine bağlı değildir. Farklı bir faz seçilerek $x = A\sin(\omega t + \varphi)$ olarak da sık yazılır. Sayfa bunun nedenini yaya bağlı kütleyle gösterir, sarkaçla karşılaştırır.

Üç katman aynı x eksenini paylaşır. Faz düzleminde durum (x, v/ω) noktasıdır. Oradaki hızı iki parçalıdır: yatayda v, düşeyde a/ω = −ωx. Birlikte daima yarıçapa diktir ve ω katı uzunluktadır; düzlemin her noktası plak gibi aynı ω hızıyla merkez çevresinde döner. Raydaki kütle noktanın x eksenindeki gölgesidir; x bu yüzden kosinüstür. Merkeze uzaklık genlik, yön faz, yarıçapın karesi çarpı ½k enerjidir: yayın payı ½kx², hareketin payı ½k(v/ω)². Yörüngeyi çember yapan v'yi ω'ya bölmektir; v'nin kendisiyle elips olur, nokta eşit hızla dönmezdi. Düzlem altındaki kâğıt şerit, zamana karşı x'i her 0.1 s'de çizik ve her sıfır geçişinde işaretle kaydeder. Genlik ne olursa olsun geçişler her T/2'de olur; ikinci osilatörün işaretleri ilkininkiyle hizalanır.

Sarkaç, $s = L\theta$ yay uzunluğuyla $s'' = -g\sin(s/L)$ denklemine uyar. Kuvvet s ile orantılı olmadığından hareket basit harmonik değildir. (s, ṡ/ω₀) düzlemindeki enerji eğrileri çember değil ovaldir; periyot salınımla büyür: $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$. Radyanla küçük $\theta_{\max}$ salınımı için yaklaşık $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ olur; burada $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. $\theta_{\max}$ enerjiyle belirlenen salınım açısıdır; yalnızca kütle durgun başladığında başlangıç açısına eşittir. Sarkacın şeridi bu tam periyotla kontrol edilmiş sayısal çözümdür; yayınki tam çözümdür. Kesikli ayırıcı eğrinin ötesinde sarkaç üstten aşar; sayfa salınımı 170° içinde tutar.