Gerak harmonik sederhana

Gerak harmonik sederhana adalah gerak benda bermassa akibat gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya: $m x'' = -k x$, atau $x'' = -\omega^2 x$ dengan $\omega = \sqrt{k/m}$. Setiap solusi berbentuk $x = A\cos(\omega t - \varphi)$, dan periodenya $T = 2\pi/\omega$ tidak bergantung pada amplitudo A. Sering juga ditulis $x = A\sin(\omega t + \varphi)$, dengan fase lain. Halaman ini menunjukkan alasannya untuk benda pada pegas, lalu membandingkan bandul.

Ketiga lapisan memakai sumbu x yang sama. Pada bidang fase, keadaan adalah titik (x, v/ω). Kecepatannya di sana memiliki dua komponen, v mendatar dan a/ω = −ωx ke atas atau bawah; bersama-sama selalu tegak lurus jari-jari dan panjangnya ω kali jari-jari, sehingga setiap titik bidang berputar terhadap pusat dengan laju sama ω, seperti piringan hitam. Benda pada rel adalah bayangan titik pada sumbu x, itulah sebabnya x berupa kosinus; jarak dari pusat adalah amplitudo, arahnya fase, dan kuadrat jari-jari dikali ½k adalah energi — bagian pegas ½kx², bagian gerak ½k(v/ω)². Pembagian v dengan ω membuat orbit berbentuk lingkaran: dengan v sendiri bentuknya elips, dan titik tidak berputar merata. Pita kertas di bawah bidang merekam x terhadap waktu, bertanda setiap 0.1 s, dengan tanda pada setiap perlintasan nol; perlintasan terjadi setiap T/2 berapa pun amplitudonya, dan tanda osilator kedua sejajar dengan yang pertama.

Bandul mengikuti $s'' = -g\sin(s/L)$ dengan panjang busur $s = L\theta$: gaya tidak sebanding dengan s, sehingga geraknya bukan harmonik sederhana. Kurva energinya pada bidang (s, ṡ/ω₀) berupa oval, bukan lingkaran, dan periodenya bertambah dengan ayunan, $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, sekitar $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ untuk ayunan kecil $\theta_{\max}$ dalam radian, dengan $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. Di sini $\theta_{\max}$ adalah besar ayunan yang ditentukan energi; sama dengan sudut awal hanya jika bandul bermula dari diam. Pita bandul adalah solusi numerik, diperiksa terhadap periode eksak itu; pita pegas adalah solusi eksak. Melewati separatriks putus-putus, bandul melewati puncak; halaman ini mempertahankan ayunan dalam 170°.