Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple es el movimiento de una masa bajo una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento: $m x'' = -k x$, o $x'' = -\omega^2 x$ con $\omega = \sqrt{k/m}$. Toda solución es $x = A\cos(\omega t - \varphi)$ y su periodo $T = 2\pi/\omega$ no depende de la amplitud A. También suele escribirse $x = A\sin(\omega t + \varphi)$, con otra fase. La página muestra por qué, para una masa en un muelle, y lo compara con un péndulo.

Las tres capas comparten un eje x. En el plano de fases, el estado es el punto (x, v/ω). Su velocidad allí tiene dos partes: v en horizontal y a/ω = −ωx en vertical; juntas son siempre perpendiculares al radio y tienen ω veces su longitud, por lo que todos los puntos del plano giran alrededor del centro a la misma velocidad ω, como un disco. La masa del carril es la proyección del punto sobre el eje x, por eso x es un coseno; la distancia al centro es la amplitud, la dirección es la fase y el radio al cuadrado por ½k es la energía: la parte del muelle es ½kx² y la del movimiento, ½k(v/ω)². Dividir v entre ω hace que la órbita sea una circunferencia: con v directamente sería una elipse y el punto no giraría uniformemente. La cinta de papel bajo el plano registra x frente al tiempo, con marcas cada 0.1 s y en cada cruce por cero; los cruces ocurren cada T/2, sea cual sea la amplitud, y las marcas de un segundo oscilador se alinean con las del primero.

El péndulo obedece $s'' = -g\sin(s/L)$, con longitud de arco $s = L\theta$: la fuerza no es proporcional a s, así que el movimiento no es armónico simple. Sus curvas de energía en el plano (s, ṡ/ω₀) son óvalos, no circunferencias, y su periodo crece con la amplitud, $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, aproximadamente $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ para una amplitud pequeña $\theta_{\max}$ en radianes, donde $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. Aquí $\theta_{\max}$ es la amplitud determinada por la energía; solo coincide con el ángulo inicial cuando la masa parte del reposo. La cinta del péndulo es una solución numérica, contrastada con ese periodo exacto; la del muelle es la solución exacta. Más allá de la separatriz discontinua, un péndulo pasa por arriba; esta página mantiene la oscilación dentro de 170°.