Resonancia

La resonancia es la oscilación de gran amplitud que aparece al impulsar un oscilador con una fuerza periódica de frecuencia cercana a la suya. Aquí, una masa cuelga de un muelle, un amortiguador la frena y una fuerza $F_0\cos\omega t$ la impulsa. La página registra la oscilación ciclo a ciclo, muestra cuándo aporta energía cada impulso y compara el resultado con la respuesta estacionaria a cada frecuencia de excitación.

La frecuencia de excitación es $r = \omega/\omega_0$, el desplazamiento se mide en unidades de la deformación estática $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$ y el tiempo en periodos naturales $T_0$. Con amortiguamiento, el movimiento desde el reposo es una oscilación estacionaria a la frecuencia de excitación más una respuesta libre que se extingue. Los puntos amarillos marcan el máximo de $|x|$ en cada ciclo de excitación. Se acercan a la amplitud estacionaria al desaparecer la parte libre, a veces con subidas y bajadas por el camino.

La banda bajo el registro representa la potencia $P = F v$. La fuerza aporta energía cuando apunta en el sentido del movimiento de la masa. En la oscilación estacionaria amortiguada con $r = 1$, la masa se retrasa exactamente un cuarto de ciclo respecto a la fuerza. Así, la fuerza está en fase con la velocidad y siempre aporta energía. En una oscilación estacionaria alejada de $r = 1$, la fuerza se opone al movimiento durante parte de cada ciclo, marcada con rayas. Lejos de $r = 1$, esa parte se aproxima a medio ciclo y el trabajo positivo y el negativo casi se cancelan.

¿Por qué deja de crecer la oscilación? Considera una oscilación sinusoidal de amplitud $A$ retrasada un cuarto de ciclo respecto a la fuerza, como la oscilación estacionaria en $r = 1$. En un ciclo, la fuerza aporta $\pi F_0 A$ y el amortiguador de coeficiente $c$ disipa $\pi c\omega A^2$. El aporte crece con $A$ y la pérdida con $A^2$, así que se equilibran en una única amplitud, $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. Mientras la oscilación crece, el balance energético muestra el aporte real, la pérdida y el cambio de energía almacenada de cada ciclo.

Menos amortiguamiento hace que el pico sea más alto y estrecho. Con $\zeta > 0$, la potencia media aportada es al menos la mitad de su máximo en una banda de frecuencias de excitación de ancho exactamente $2\zeta$: el ancho de media potencia señalado en el gráfico. El desplazamiento alcanza su máximo por debajo de $r = 1$, en $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, siempre que $0 < 2\zeta^2 < 1$.

Con poco amortiguamiento, la parte libre oscila a su propia frecuencia, $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. Cuando está cerca de la frecuencia de excitación, pero no es igual, las dos oscilaciones alternan entre acompasarse y desfasarse: el registro sube y baja formando batidos. Estos se atenúan cuando el amortiguamiento elimina la parte libre. Sin amortiguamiento, esta no desaparece y el movimiento nunca se estabiliza. Para $r \ne 1$, la curva da entonces la amplitud de un movimiento periódico al que la ejecución no se aproxima; en $r = 1$, la oscilación crece sin límite.