共振

共振は、固有周波数に近い周期的な力を受けた振動系が大きく振動する現象です。ここでは物体がばねにつるされ、ダンパーが運動を減速させ、力$F_0\cos\omega t$が物体を押します。このページは振動を1周期ずつ記録し、力がいつエネルギーを与えるかを示して、各駆動周波数での定常応答と比較します。

駆動周波数は$r = \omega/\omega_0$、変位の単位は静的変位$x_{\mathrm{st}} = F_0/k$、時間の単位は固有周期$T_0$です。減衰があるとき、静止から始まる運動は、駆動周波数での定常振動に、次第に消える自由応答を加えたものになります。黄色い点は、各駆動周期での$|x|$の最大値を示します。自由成分が減衰するにつれて定常振幅に近づきますが、途中で上下することもあります。

記録の下の帯はパワー$P = F v$を示します。力が物体の動く向きと同じとき、エネルギーが与えられます。減衰があり$r = 1$の定常振動では、物体は力よりちょうど4分の1周期遅れるため、力と速度が同位相になり、力は常にエネルギーを与えます。$r = 1$から外れた定常振動では、各周期の一部で力が運動を妨げ、その区間を斜線で示しています。$r = 1$から大きく離れると、その区間は半周期に近づき、正と負の仕事がほぼ打ち消し合います。

なぜ振動の成長は止まるのでしょうか。$r = 1$の定常振動のように、振幅$A$で力より4分の1周期遅れる正弦波の振動を考えます。1周期の間に力は$\pi F_0 A$のエネルギーを与え、係数$c$のダンパーは$\pi c\omega A^2$を奪います。入力は$A$に、損失は$A^2$に比例して増えるので、両者がつり合う振幅はただ1つ、$A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$です。振動が成長する間、エネルギー収支には各周期の実際の入力、損失、蓄積エネルギーの変化を表示します。

減衰が小さいほど、ピークは高く狭くなります。$\zeta > 0$では、平均入力パワーが最大値の半分以上になる駆動周波数帯の幅は、ちょうど$2\zeta$です。これが図に示したパワーの半値幅です。$0 < 2\zeta^2 < 1$を満たすとき、変位のピークは$r = 1$より低い周波数$r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$に現れます。

減衰が弱いと、自由成分は自身の周波数$\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$で振動します。この周波数が駆動周波数に近くても等しくなければ、2つの振動は同位相になったりずれたりして、記録が上下する「うなり」が生じます。減衰によって自由成分が消えるにつれ、うなりも消えます。減衰がなければ自由成分は消えず、運動は定常状態に落ち着きません。$r \ne 1$の場合、曲線は周期的な運動の振幅を示しますが、この運動がそこに近づくわけではありません。$r = 1$では振幅が無限に増大します。