الرنين

الرنين هو اهتزاز كبير لمهتز تدفعه قوة دورية بتردد قريب من تردده الطبيعي. هنا تتدلى كتلة من نابض، ويبطئها مخمّد، وتدفعها قوة $F_0\cos\omega t$. تسجل الصفحة الاهتزاز دورة بعد دورة، وتوضح متى تدخل كل دفعة طاقة، وتقارن النتيجة بالاستجابة المستقرة عند كل تردد إثارة.

تردد الإثارة هو $r = \omega/\omega_0$، وتقاس الإزاحة بوحدات الإزاحة الساكنة $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$، والزمن بالفترات الطبيعية $T_0$. مع التخميد، تكون الحركة من السكون مجموع اهتزاز مستقر بتردد الإثارة واستجابة حرة تتلاشى. تشير النقاط الصفراء إلى أكبر قيمة لـ $|x|$ في كل دورة إثارة. وهي تقترب من السعة المستقرة كلما تلاشت المركبة الحرة، وقد ترتفع وتنخفض في الطريق.

الشريط أسفل السجل هو القدرة $P = F v$. تضيف الدفعة طاقة عندما تكون في اتجاه حركة الكتلة. في الاهتزاز المستقر المخمّد عند $r = 1$، تتأخر الكتلة عن القوة بربع دورة تمامًا؛ لذا تتفق القوة في الطور مع السرعة وتدخل كل دفعة طاقة. في اهتزاز مستقر بعيد عن $r = 1$، تعاكس القوة الحركة خلال جزء من كل دورة، ويُعرض هذا الجزء بالتهشير. وبعيدًا جدًا عن $r = 1$، يقترب هذا الجزء من نصف الدورة، ويكاد الشغل الموجب والسالب يلغي أحدهما الآخر.

لماذا يتوقف الاهتزاز عن النمو؟ خذ اهتزازًا جيبيًا سعته $A$ ويتأخر عن القوة بربع دورة، كما يحدث في الاهتزاز المستقر عند $r = 1$. في دورة واحدة، تدخل القوة $\pi F_0 A$، ويبدد المخمّد ذو المعامل $c$ مقدار $\pi c\omega A^2$. ينمو الإدخال مع $A$ والفقد مع $A^2$، فيتوازنان عند سعة واحدة، $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. وأثناء نمو الاهتزاز، تبين حصيلة الطاقة الإدخال الفعلي والفقد والتغير في الطاقة المخزنة لكل دورة.

كلما قل التخميد ارتفعت القمة وضاقت. عند $\zeta > 0$، تكون القدرة المتوسطة المدخلة نصف قيمتها القصوى على الأقل ضمن نطاق من ترددات الإثارة عرضه $2\zeta$ تمامًا، وهو عرض نصف القدرة المحدد على الرسم. تبلغ الإزاحة ذروتها عند تردد أقل من $r = 1$، وتحديدًا عند $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$، بشرط $0 < 2\zeta^2 < 1$.

مع التخميد الضعيف، تهتز المركبة الحرة بترددها الخاص، $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. عندما يكون قريبًا من تردد الإثارة لكنه غير مساوٍ له، يتفق الاهتزازان في الطور ثم يختلفان، فيرتفع السجل وينخفض على هيئة خفقات. تتلاشى الخفقات حين يزيل التخميد المركبة الحرة. وبلا تخميد، لا شيء يزيلها ولا تستقر الحركة. عند $r \ne 1$ يعطي المنحنى حينئذ سعة حركة دورية لا تقترب منها التجربة؛ وعند $r = 1$ ينمو الاهتزاز بلا حد.