Resonanz

Resonanz ist die große Schwingung eines Oszillators, den eine periodische Kraft nahe seiner Eigenfrequenz antreibt. Hier hängt eine Masse an einer Feder, ein Dämpfer bremst sie, und die Kraft $F_0\cos\omega t$ treibt sie an. Die Seite zeichnet die Schwingung Zyklus für Zyklus auf, zeigt, wann die Kraft Energie zuführt, und vergleicht das Ergebnis mit der stationären Antwort bei jeder Erregerfrequenz.

Die Erregerfrequenz ist $r = \omega/\omega_0$, die Auslenkung wird in Einheiten der statischen Auslenkung $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$ gemessen, die Zeit in Eigenperioden $T_0$. Mit Dämpfung setzt sich die Bewegung aus der Ruhe aus einer stationären Schwingung mit der Erregerfrequenz und einer abklingenden freien Antwort zusammen. Die gelben Punkte markieren den größten Wert von $|x|$ in jedem Anregungszyklus. Während der freie Anteil abklingt, nähern sie sich der stationären Amplitude, manchmal mit Auf und Ab.

Der Streifen unter der Aufzeichnung zeigt die Leistung $P = F v$. Eine Kraft führt Energie zu, wenn sie in Bewegungsrichtung der Masse zeigt. In der gedämpften stationären Schwingung bei $r = 1$ hinkt die Masse der Kraft genau einen Viertelzyklus hinterher. Die Kraft ist daher mit der Geschwindigkeit in Phase, und jede Krafteinwirkung führt Energie zu. Bei einer stationären Schwingung abseits von $r = 1$ wirkt die Kraft während eines Teils jedes Zyklus der Bewegung entgegen; dieser Teil ist schraffiert. Weit entfernt von $r = 1$ nähert er sich einem halben Zyklus, und positive und negative Arbeit heben sich fast auf.

Warum wächst die Schwingung nicht weiter? Betrachte eine sinusförmige Schwingung mit Amplitude $A$, die der Kraft einen Viertelzyklus hinterherhinkt, wie die stationäre Schwingung bei $r = 1$. Pro Zyklus führt die Kraft $\pi F_0 A$ zu, während der Dämpfer mit Koeffizient $c$ die Energie $\pi c\omega A^2$ entzieht. Die Zufuhr wächst mit $A$, der Verlust mit $A^2$. Sie gleichen sich daher bei einer einzigen Amplitude aus: $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. Während die Schwingung anwächst, zeigt die Energiebilanz für jeden Zyklus die tatsächliche Zufuhr, den Verlust und die Änderung der gespeicherten Energie.

Weniger Dämpfung macht den Gipfel höher und schmaler. Für $\zeta > 0$ beträgt die mittlere zugeführte Leistung in einem genau $2\zeta$ breiten Frequenzband mindestens die Hälfte ihres Maximums. Das ist die im Diagramm markierte Halbwertsbreite der Leistung. Das Auslenkungsmaximum liegt unterhalb von $r = 1$, nämlich bei $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, sofern $0 < 2\zeta^2 < 1$ gilt.

Bei schwacher Dämpfung schwingt der freie Anteil mit seiner eigenen Frequenz $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. Liegt sie nahe an der Erregerfrequenz, ohne gleich zu sein, geraten die beiden Schwingungen abwechselnd in und außer Takt: Die Aufzeichnung zeigt Schwebungen. Diese klingen ab, während die Dämpfung den freien Anteil beseitigt. Ohne Dämpfung bleibt er bestehen, und die Bewegung wird nie stationär. Für $r \ne 1$ zeigt die Kurve dann die Amplitude einer periodischen Bewegung, der sich dieser Durchlauf nicht nähert; bei $r = 1$ wächst die Schwingung unbegrenzt.