Phasenporträt

Ein Phasenporträt zeichnet die Lösungen eines Differentialgleichungssystems als Kurven in der Ebene seiner Variablen, eine durch jeden Startpunkt. Diese Seite zeigt das lineare System $x' = Ax$ für eine $2 \times 2$-Matrix $A$. Bewegst du den Punkt $(\tau, \Delta)$ im Spur-Determinanten-Diagramm, wechselt das Bild zwischen Sätteln, Knoten, Foki und Zentren. Die Eigenwertebene daneben zeigt die beiden Eigenwerte hinter jedem Bild.

Jede Kurve folgt dem Richtungsfeld. Dessen Pfeile sind gleich lang und zeigen nur die Richtung. Die Geschwindigkeit erkennt man an den Markierungen in gleichen Zeitabständen: Wo die Bewegung langsam ist, liegen sie dicht zusammen. Manche Lösungen verlaufen auf einer Geraden durch den Ursprung. Gilt $Av = \lambda v$, dann ist $x(t) = e^{\lambda t} v$ eine Lösung, denn ihre Ableitung $\lambda e^{\lambda t} v$ ist genau das Ergebnis der Anwendung von $A$ auf sie. Die Geraden sind also die Eigenrichtungen von $A$, und $\lambda$ gibt die Wachstumsrate entlang jeder an: Bei $\lambda > 0$ geht die Bewegung nach außen, bei $\lambda < 0$ nach innen und bei $\lambda = 0$ steht sie still.

Die Eigenwerte lösen $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$. Daher ist $\tau$ ihre Summe, $\Delta$ ihr Produkt und $\tau^2 - 4\Delta$ die Diskriminante. Jede Grenze im Diagramm entspricht einem Ereignis in der Eigenwertebene. Unterhalb von $\Delta = 0$ haben die Eigenwerte entgegengesetzte Vorzeichen: Das Bild ist ein Sattel. Auf dieser Linie ist einer der Eigenwerte 0, und eine ganze Gerade aus Punkten bleibt in Ruhe. Auf der Parabel $\tau^2 = 4\Delta$ treffen sich die Eigenwerte; darüber bilden sie ein komplex konjugiertes Paar. Bei $\Delta > 0$ trennt das Vorzeichen von $\tau$ Abklingen und Anwachsen. Auf $\tau = 0$ liegt das Paar auf der imaginären Achse. Somit legen $\tau$ und $\Delta$ die Eigenwerte und den Bildtyp fest — außer bei doppelten Eigenwerten, wo der Typ auch davon abhängt, ob $A$ ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.

Für komplexe Eigenwerte $\alpha \pm \beta i$ mit $\beta > 0$ umläuft jede von null verschiedene Lösung den Ursprung einmal in der Zeit $2\pi/\beta$ und wird dabei mit $e^{2\pi\alpha/\beta}$ skaliert. Deshalb liegen Markierungen im Abstand eines Umlaufs auf demselben Strahl vom Ursprung, jeweils mit demselben Faktor skaliert. Bei $\alpha = 0$ ist der Faktor 1, und jede von null verschiedene Bahn schließt sich zu einer Ellipse: ein Zentrum. Mit $\Delta = 1$ und $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$ ist das System der gedämpfte Oszillator $x'' + 2\zeta x' + x = 0$ mit $\zeta = -\tau/2$.

Beim Überqueren der Parabel schließen sich die beiden Geraden wie eine Schere zu einer und verschwinden dann, während das Bild zur Spirale wird. Abseits des Scheitels hat eine typische Matrix auf der Parabel nur diese eine Gerade. Jede andere Lösung nähert sich dem Ursprung tangential zu ihr oder verlässt ihn so. Bei $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$ hat die Matrix $-I$ dieselben Eigenwerte, doch jede Richtung ist geradlinig. Der Basiswechsel $A \mapsto PAP^{-1}$ verformt das Bild, erhält aber $\tau$, $\Delta$, die Eigenwerte und den Typ. Ein Vielfaches der Einheitsmatrix bleibt unverändert.