Ritratto di fase

Un ritratto di fase disegna le soluzioni di un sistema di equazioni differenziali come curve nel piano delle sue variabili, una per ogni punto iniziale. Questa pagina mostra il sistema lineare $x' = Ax$ per una matrice $A$ di dimensione $2 \times 2$. Spostando il punto $(\tau, \Delta)$ nel diagramma traccia–determinante, il ritratto passa attraverso selle, nodi, fuochi e centri. Il piano degli autovalori accanto mostra i due autovalori alla base di ciascun ritratto.

Ogni curva segue il campo di direzioni. Le frecce hanno tutte la stessa lunghezza e mostrano solo la direzione; la rapidità si legge nei segni a intervalli di tempo uguali, più fitti dove il moto è lento. Alcune soluzioni percorrono una retta per l’origine. Se $Av = \lambda v$, allora $x(t) = e^{\lambda t} v$ è una soluzione, perché la sua derivata $\lambda e^{\lambda t} v$ è esattamente il risultato di applicarle $A$. Le rette sono quindi le autodirezioni di $A$, e $\lambda$ è il tasso di crescita lungo ciascuna: il moto va verso l’esterno quando $\lambda > 0$, verso l’interno quando $\lambda < 0$ e resta fermo quando $\lambda = 0$.

Gli autovalori risolvono $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$: $\tau$ è dunque la loro somma, $\Delta$ il prodotto e $\tau^2 - 4\Delta$ il discriminante. Ogni confine del diagramma corrisponde a un evento nel piano degli autovalori. Sotto $\Delta = 0$, gli autovalori hanno segni opposti e il ritratto è una sella; su quella linea, uno vale 0 e un’intera retta di punti resta ferma. Sulla parabola $\tau^2 = 4\Delta$, i due autovalori coincidono; sopra, formano una coppia complessa coniugata. Con $\Delta > 0$, il segno di $\tau$ distingue il decadimento dalla crescita e, su $\tau = 0$, la coppia si trova sull’asse immaginario. Quindi $\tau$ e $\Delta$ fissano gli autovalori e il tipo di ritratto, tranne quando gli autovalori sono ripetuti: in quel caso il tipo dipende anche dal fatto che $A$ sia un multiplo dell’identità.

Per autovalori complessi $\alpha \pm \beta i$ con $\beta > 0$, ogni soluzione non nulla compie un giro attorno all’origine nel tempo $2\pi/\beta$ e, nello stesso intervallo, viene moltiplicata per $e^{2\pi\alpha/\beta}$. Ecco perché i segni distanti un giro giacciono sulla stessa semiretta dall’origine, ogni volta con lo stesso fattore di scala. Quando $\alpha = 0$, il fattore è 1 e ogni orbita non nulla si chiude in un’ellisse: un centro. Con $\Delta = 1$ e $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$, il sistema è l’oscillatore smorzato $x'' + 2\zeta x' + x = 0$, con $\zeta = -\tau/2$.

Attraversando la parabola, le due rette si chiudono come forbici fino a diventare una sola, poi scompaiono mentre il ritratto diventa una spirale. Lontano dal vertice, una matrice tipica sulla parabola possiede solo quella retta, e ogni altra soluzione entra o esce dall’origine tangente a essa. In $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$, la matrice $-I$ ha gli stessi autovalori, ma ogni direzione dà una retta. Il cambio di base $A \mapsto PAP^{-1}$ deforma il ritratto mantenendo $\tau$, $\Delta$, gli autovalori e il tipo. Un multiplo dell’identità resta invariato.