Campo di direzioni: visualizzazione interattiva

I campi di direzioni in questa visualizzazione

Un’equazione differenziale del primo ordine $y' = f(x, y)$ prescrive una pendenza in ogni punto del piano. Il suo campo di pendenze (detto anche campo di direzioni) disegna quella pendenza come un breve segmento in ogni punto di un reticolo. Una soluzione è una funzione derivabile $y(x)$ il cui grafico è tangente ai segmenti ovunque; un problema ai valori iniziali chiede quella passante per un punto dato $P = (x_0, y_0)$ . Quando f è continua e localmente lipschitziana in y, per ogni punto passa esattamente una soluzione su un certo intervallo di x — quindi le sole pendenze determinano ogni soluzione.

Trascina P e l’intera curva che lo attraversa si muove continuamente (su ogni intervallo chiuso in cui la soluzione esiste). Per le otto equazioni predefinite le curve sono soluzioni in forma chiusa; per un’equazione digitata si calcolano numericamente con un metodo Runge–Kutta adattivo (Dormand–Prince 5(4), tolleranza relativa $10^{-8}$ ). Se y′ dipende solo da x, le soluzioni differiscono per una costante: $+C$ è una traslazione verticale. Se dipende solo da y, gli zeri di f sono soluzioni orizzontali di equilibrio e le soluzioni tra due equilibri adiacenti sono traslazioni orizzontali l’una dell’altra.

Metodo di Eulero, passo h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

Il metodo di Eulero segue per un passo di lunghezza h la pendenza letta nel punto attuale, poi legge di nuovo. Qui procede da P all’estremo X (con l’ultimo passo accorciato per arrivare in X). Per una soluzione regolare, l’errore in X è approssimativamente proporzionale a h: il tasto rosso dimezza h livello per livello e ogni dimezzamento dimezza circa l’errore, quindi il rapporto tra errori successivi tende a 2.

Cosa osservare

I segmenti hanno uguale lunghezza e nessuna punta: conta solo la loro pendenza. Un campo di direzioni è il campo vettoriale $(1, f)$ privato della lunghezza di ogni freccia.
Una soluzione non deve necessariamente esistere per ogni x. Per $y' = y^2$ , la soluzione per (0, 1) è $1/(1-x)$ , che cresce senza limite quando x si avvicina a 1; la pagina la ferma alla linea tratteggiata senza mai unirla all’altro ramo. Per $y' = -x/y$ , la soluzione per (0, 2) è una semicirconferenza che termina dove la pendenza diventa verticale. Eulero restituisce comunque un numero oltre un punto di questo tipo; il valore della soluzione viene allora indicato come inesistente.
Senza la condizione di Lipschitz una soluzione può non essere unica: $y = 0$ e $y = x^3$ risolvono entrambe $y' = 3y^{2/3}$ passando per (0, 0), così come ogni curva che resta su y = 0 per un po’ e poi se ne allontana. Il metodo di Eulero da (0, 0) resta a 0 per ogni passo.
Le isocline sono le curve in cui la pendenza è costante, $f(x, y) = c$ ; lungo ognuna i segmenti sono paralleli, ed è così che si disegnano a mano i campi di direzioni. Con h = π/n, Eulero su $y' = \cos x$ da (0, 0) a π restituisce esattamente h.

Comandi

Fai clic nello spazio vuoto per aggiungere un’altra soluzione (fino a sei); l’ultima toccata è P, quella da cui parte Eulero. Con Sposta vista attivo, trascinare muove invece l’immagine.
Trascina il ▲ sull’asse x oppure ruota la sua rotella per spostare l’estremo X di Eulero. Il tasto rosso parte dall’h attuale; al termine riparte da h = 1. La finestra Registro di avvicinamento raccoglie valore, errore e rapporto di ogni livello, anche quando è chiusa.

Concetti collegati

Il metodo di Eulero su $y' = y$ da (0, 1) a 1 dà $(1 + h)^{1/h}$ , il fattore dell’interesse composto. Un sistema di due equazioni si rappresenta con un ritratto di fase.

Per approfondire: Wikipedia: Slope field (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (Inglese).