방향장: 인터랙티브 시각화

이 시각화의 방향장

1계 미분방정식 $y' = f(x, y)$ 은 평면의 각 점에서 기울기를 정합니다. 방향장(기울기장이라고도 합니다)은 격자의 각 점에 그 기울기를 짧은 선분으로 그립니다. 해는 그래프가 모든 점에서 이 선분들에 접하는 미분 가능한 함수 $y(x)$ 입니다. 초깃값 문제는 주어진 점 $P = (x_0, y_0)$ 을 지나는 해를 구하는 문제입니다. f가 연속이고 y에 대해 국소적으로 립시츠 연속이면, 각 점을 지나는 해는 어떤 x 구간에서 정확히 하나 존재합니다. 따라서 기울기만으로 모든 해가 정해집니다.

P를 드래그하면 그 점을 지나는 곡선 전체가 연속적으로 움직입니다(해가 존재하는 임의의 닫힌 구간에서). 여덟 가지 기본 방정식은 닫힌 형태의 해를 사용합니다. 직접 입력한 방정식은 적응형 룽게–쿠타 방법(Dormand–Prince 5(4), 상대 허용오차 $10^{-8}$ )으로 수치 계산합니다. y′이 x에만 의존하면 해들은 상수만큼 차이 납니다. $+C$ 은 수직이동입니다. y′이 y에만 의존하면 f의 영점은 수평인 평형해이며, 이웃한 두 평형해 사이의 해들은 서로 수평이동한 곡선입니다.

오일러 방법, 간격 h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

오일러 방법은 현재 점에서 읽은 기울기를 따라 h만큼 한 걸음 이동한 뒤 기울기를 다시 읽습니다. 여기서는 P에서 끝점 X까지 진행하며, 마지막 간격은 X에 정확히 닿도록 줄입니다. 매끄러운 해의 경우 X에서의 오차는 대략 h에 비례합니다. 빨간 버튼은 단계마다 h를 절반으로 줄이고, 오차도 대략 절반이 되므로 연속한 두 오차의 비는 2에 가까워집니다.

살펴볼 점

선분의 길이는 모두 같고 화살촉은 없습니다. 의미가 있는 것은 기울기뿐입니다. 방향장은 벡터장 $(1, f)$ 에서 각 화살표의 길이 정보를 버린 것입니다.
모든 x에서 해가 존재하는 것은 아닙니다. $y' = y^2$ 에서 (0, 1)을 지나는 해는 $1/(1-x)$ 이며, x가 1에 가까워지면 한없이 커집니다. 이 페이지는 점선에서 곡선을 멈추며 다른 가지와 연결하지 않습니다. $y' = -x/y$ 에서 (0, 2)를 지나는 해는 기울기가 수직이 되는 곳에서 끝나는 반원입니다. 오일러 방법은 그런 점을 지나서도 숫자를 내놓지만, 그곳의 해는 존재하지 않는다고 표시합니다.
립시츠 조건이 없으면 해가 유일하지 않을 수 있습니다. $y = 0$ 과 $y = x^3$ 은 모두 (0, 0)을 지나는 $y' = 3y^{2/3}$ 의 해이며, y = 0에 잠시 머문 뒤 떠나는 곡선도 해가 됩니다. (0, 0)에서 시작한 오일러 방법은 어떤 간격에서도 0에 머뭅니다.
등경사선은 기울기가 일정한 곡선 $f(x, y) = c$ 입니다. 각 곡선을 따라 선분들이 평행하므로 방향장을 손으로 그릴 때 이용할 수 있습니다. h = π/n으로 두고 $y' = \cos x$ 에 오일러 방법을 적용해 (0, 0)에서 π까지 가면 정확히 h를 얻습니다.

조작 방법

빈 곳을 클릭하면 해를 추가합니다(최대 여섯 개). 마지막으로 건드린 해의 점이 P가 되며, 오일러 방법은 그곳에서 출발합니다. 화면 이동을 켜면 드래그로 그림을 옮깁니다.
x축의 ▲를 드래그하거나 해당 휠을 돌려 오일러 방법의 끝점 X를 옮기세요. 빨간 버튼은 현재 h에서 시작하며, 끝에 도달한 뒤 다시 시작하면 h = 1부터 진행합니다. 접근 기록 창은 닫혀 있을 때도 각 단계의 값, 오차, 비를 모읍니다.

이 시각화의 방향장

살펴볼 점

조작 방법

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