Поле направлений: интерактивная визуализация

Поля направлений в этой визуализации

Дифференциальное уравнение первого порядка $y' = f(x, y)$ задаёт наклон в каждой точке плоскости. Его поле направлений (также поле наклонов) изображает этот наклон коротким отрезком в каждом узле сетки. Решение — дифференцируемая функция $y(x)$ , график которой всюду касается этих отрезков; задача Коши требует найти решение через заданную точку $P = (x_0, y_0)$ . Если f непрерывна и локально липшицева по y, то через каждую точку проходит ровно одно решение на некотором интервале x: одни лишь наклоны определяют каждое решение.

Перетаскивайте P — вся кривая через неё движется непрерывно (на любом замкнутом интервале существования решения). Для восьми готовых уравнений используются решения в явном виде; для введённого вами уравнения они вычисляются численно адаптивным методом Рунге — Кутты (Дорман — Принс 5(4), относительный допуск $10^{-8}$ ). Если y′ зависит только от x, решения отличаются на постоянную: $+C$ — вертикальный сдвиг. Если только от y, нули f дают горизонтальные равновесные решения, а решения между двумя соседними равновесиями — горизонтальные сдвиги друг друга.

Метод Эйлера, шаг h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

Метод Эйлера движется с наклоном, считанным в текущей точке, на один шаг длиной h, затем считывает наклон снова. Здесь он идёт от P до конечной точки X (последний шаг сокращается, чтобы попасть точно в X). Для гладкого решения погрешность при X примерно пропорциональна h: красная клавиша последовательно делит h пополам, и каждое деление примерно вдвое уменьшает погрешность. Поэтому отношение последовательных погрешностей стремится к 2.

На что обратить внимание

Отрезки имеют одинаковую длину и не имеют стрелок: смысл несёт только наклон. Поле направлений — векторное поле $(1, f)$ , в котором отброшены длины всех стрелок.
Решение не обязано существовать для всех x. Для $y' = y^2$ решение через (0, 1) равно $1/(1-x)$ и неограниченно растёт при приближении x к 1; страница останавливает его у пунктирной линии и не соединяет с другой ветвью. Для $y' = -x/y$ решение через (0, 2) — полуокружность, заканчивающаяся там, где касательная становится вертикальной. Метод Эйлера всё ещё возвращает число за такой точкой; значение решения тогда отмечается как несуществующее.
Без условия Липшица решение может быть не единственным: и $y = 0$ , и $y = x^3$ решают $y' = 3y^{2/3}$ через (0, 0), как и любая кривая, некоторое время остающаяся на y = 0, а затем уходящая с неё. Метод Эйлера из (0, 0) остаётся на 0 при любом размере шага.
Изоклины — кривые постоянного наклона, $f(x, y) = c$ ; вдоль каждой отрезки параллельны — так поля направлений рисуют от руки. При h = π/n метод Эйлера для $y' = \cos x$ из (0, 0) до π возвращает ровно h.

Управление

Нажмите на пустое место, чтобы добавить ещё одно решение (до шести); последняя затронутая точка становится P, из которой стартует метод Эйлера. При включённом режиме перемещения вида перетаскивание двигает рисунок.
Перетаскивайте ▲ на оси x или вращайте соответствующее колёсико, чтобы переместить конечную точку Эйлера X. Красная клавиша начинает с текущего h; дойдя до конца, начинает снова с h = 1. Окно истории приближения собирает значение, погрешность и отношение для каждого уровня, даже когда оно закрыто.

Связанные темы

Метод Эйлера для $y' = y$ из (0, 1) до 1 даёт $(1 + h)^{1/h}$ — множитель сложных процентов. Система двух уравнений изображается фазовым портретом.

Дополнительные материалы: Википедия: Slope field (Английский); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (Английский).