Campo de pendientes: visualización interactiva

Los campos de pendientes en esta visualización

Una ecuación diferencial de primer orden $y' = f(x, y)$ prescribe una pendiente en cada punto del plano. Su campo de pendientes (también llamado campo de direcciones) dibuja esa pendiente como un segmento corto en cada punto de una retícula. Una solución es una función derivable $y(x)$ cuya gráfica es tangente a los segmentos en todas partes; un problema de valor inicial pide la que pasa por un punto dado $P = (x_0, y_0)$ . Cuando f es continua y localmente Lipschitz en y, pasa exactamente una solución por cada punto, en algún intervalo de x; por tanto, las pendientes por sí solas determinan cada solución.

Arrastra P y toda la curva que pasa por él se mueve continuamente (en cualquier intervalo cerrado donde exista la solución). Para las ocho ecuaciones predefinidas, las curvas son soluciones en forma cerrada; para una ecuación que escribas, se calculan numéricamente con un método de Runge–Kutta adaptativo (Dormand–Prince 5(4), tolerancia relativa $10^{-8}$ ). Si y′ solo depende de x, las soluciones difieren en una constante: $+C$ es un desplazamiento vertical. Si solo depende de y, los ceros de f son soluciones de equilibrio horizontales, y las soluciones entre dos equilibrios vecinos son desplazamientos horizontales unas de otras.

Método de Euler, paso h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

El método de Euler sigue la pendiente leída en el punto actual durante un paso de longitud h y después vuelve a leerla. Aquí va de P al extremo X (acorta el último paso para llegar a X). Para una solución suave, su error en X es aproximadamente proporcional a h: la tecla roja divide h entre dos nivel a nivel y cada reducción divide aproximadamente el error entre dos, de modo que el cociente de errores sucesivos tiende a 2.

En qué fijarse

Los segmentos tienen igual longitud y no tienen punta de flecha: solo importa su pendiente. Un campo de pendientes es el campo vectorial $(1, f)$ descartando la longitud de cada flecha.
Una solución no tiene por qué existir para todo x. Para $y' = y^2$ , la solución por (0, 1) es $1/(1-x)$ , que crece sin límite cuando x se aproxima a 1; la página la detiene en la línea discontinua y nunca la une a la otra rama. Para $y' = -x/y$ , la solución por (0, 2) es una semicircunferencia que termina donde su pendiente se vuelve vertical. Euler sigue devolviendo un número más allá de ese punto; el valor de la solución se indica entonces como inexistente.
Sin la condición de Lipschitz, la solución puede no ser única: $y = 0$ y $y = x^3$ resuelven ambas $y' = 3y^{2/3}$ pasando por (0, 0), igual que cualquier curva que permanezca un tiempo en y = 0 y luego salga. El método de Euler desde (0, 0) permanece en 0 con cualquier tamaño de paso.
Las isoclinas son las curvas de pendiente constante, $f(x, y) = c$ ; a lo largo de cada una, los segmentos son paralelos, y así se dibujan a mano los campos de pendientes. Con h = π/n, Euler aplicado a $y' = \cos x$ desde (0, 0) hasta π devuelve exactamente h.

Controles

Haz clic en un espacio vacío para añadir otra solución (hasta seis); la última que tocaste es P, desde donde parte Euler. Con Desplazar activado, arrastrar mueve la imagen.
Arrastra el ▲ del eje x o gira su rueda para mover el extremo X de Euler. La tecla roja empieza desde el h actual; al terminar, vuelve a empezar desde h = 1. La ventana Registro de aproximación recopila el valor, error y cociente de cada nivel, incluso cerrada.

Conceptos relacionados

El método de Euler aplicado a $y' = y$ desde (0, 1) hasta 1 da $(1 + h)^{1/h}$ , el factor del interés compuesto. Un sistema de dos ecuaciones se representa como retrato de fase.

Para saber más: Wikipedia: Slope field (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (Inglés).