Campo de direções: visualização interativa

Campos de direções nesta visualização

Uma equação diferencial de primeira ordem $y' = f(x, y)$ prescreve um declive em cada ponto do plano. O seu campo de declives (também chamado campo de direções) representa esse declive por um pequeno segmento em cada ponto de uma malha. Uma solução é uma função diferenciável $y(x)$ cujo gráfico é tangente aos segmentos em todos os pontos; um problema de valor inicial procura a solução que passa por um dado ponto $P = (x_0, y_0)$ . Quando f é contínua e localmente Lipschitz em y, passa exatamente uma solução por cada ponto, num certo intervalo de x — por isso, os declives, por si só, determinam cada solução.

Arraste P e toda a curva que passa por ele move-se continuamente (em qualquer intervalo fechado onde a solução exista). Para as oito equações predefinidas, as curvas são soluções em forma fechada; para uma equação introduzida por si, são calculadas numericamente por um método de Runge–Kutta adaptativo (Dormand–Prince 5(4), tolerância relativa $10^{-8}$ ). Se y′ depender apenas de x, as soluções diferem por uma constante: $+C$ é um deslocamento vertical. Se depender apenas de y, os zeros de f são soluções de equilíbrio horizontais, e as soluções entre dois equilíbrios vizinhos são translações horizontais umas das outras.

Método de Euler, passo h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

O método de Euler segue o declive lido no ponto atual durante um passo de comprimento h e depois volta a lê-lo. Aqui avança de P até ao extremo X (encurtando o último passo para chegar exatamente a X). Para uma solução suave, o erro em X é aproximadamente proporcional a h: a tecla vermelha reduz h a metade, nível a nível, e cada redução diminui o erro aproximadamente para metade, pelo que a razão entre erros sucessivos tende para 2.

O que observar

Os segmentos têm o mesmo comprimento e não têm pontas de seta: só o declive tem significado. Um campo de direções é o campo vetorial $(1, f)$ sem a informação sobre o comprimento de cada seta.
Uma solução pode não existir para todos os x. Para $y' = y^2$ , a solução que passa por (0, 1) é $1/(1-x)$ , que cresce sem limite quando x se aproxima de 1; a página interrompe-a na linha tracejada e nunca a une ao outro ramo. Para $y' = -x/y$ , a solução por (0, 2) é uma semicircunferência que termina onde a tangente se torna vertical. Euler continua a devolver um número para além desse ponto; o valor da solução passa então a ser assinalado como inexistente.
Sem a condição de Lipschitz, a solução pode não ser única: $y = 0$ e $y = x^3$ resolvem ambas $y' = 3y^{2/3}$ passando por (0, 0), tal como qualquer curva que permaneça em y = 0 durante algum tempo e depois se afaste. O método de Euler a partir de (0, 0) permanece em 0 com qualquer tamanho de passo.
As isóclinas são as curvas onde o declive é constante, $f(x, y) = c$ ; ao longo de cada uma, os segmentos são paralelos, o que permite esboçar campos de direções à mão. Com h = π/n, Euler aplicado a $y' = \cos x$ de (0, 0) até π devolve exatamente h.

Controlos

Clique num espaço vazio para adicionar outra solução (até seis); o último ponto em que tocou passa a ser P, de onde parte Euler. Com Mover vista ativo, arrastar move a imagem.
Arraste o ▲ no eixo x ou rode o respetivo seletor para mover o extremo X de Euler. A tecla vermelha começa no h atual; ao chegar ao fim, recomeça em h = 1. A janela Registo da aproximação recolhe o valor, o erro e a razão de cada nível, mesmo quando está fechada.

Relacionados

O método de Euler aplicado a $y' = y$ , de (0, 1) até 1, dá $(1 + h)^{1/h}$ , o fator dos juros compostos. Um sistema de duas equações é representado num retrato de fase.

Para saber mais: Wikipédia: Slope field (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (Inglês).