Juros compostos: visualização interativa

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Os juros compostos nesta visualização

Juros compostos são juros pagos sobre juros: cada crédito é acrescentado ao saldo e passa também a render juros. A uma taxa anual $r$ , com $n$ capitalizações por ano, cada crédito acrescenta $r/n$ do saldo. Assim, ao fim de $t$ anos, um capital inicial $P$ passa a $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ , onde $\lfloor nt \rfloor$ é o número de capitalizações já efetuadas (nos instantes de capitalização, basta escrever $P\,(1 + r/n)^{nt}$ ). A capitalização por período também se escreve $y = a(1 + r)^{x}$ , sendo $a$ o capital inicial, $r$ a taxa por período e $x$ o número de períodos; aqui, a taxa por período é $r/n$ e um ano tem $n$ períodos. Esta página acompanha um capital inicial de 1 durante um ano e permite variar $n$ de 1 a um milhão com o deslizador; os valores introduzidos pelo teclado podem chegar a 100 milhões.

A escada amarela representa o saldo: mantém-se constante entre créditos de juros e sobe um degrau em cada um. As marcas vermelhas na base indicam os instantes de capitalização, separados por 1/n de ano. No fim do ano, a escada chega a

Saldo ao fim de um ano

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

À medida que $n$ aumenta, os degraus tornam-se menores e mais frequentes, e o saldo no fim do ano cresce — mas não cresce sem limite. Aproxima-se da curva azul, a capitalização contínua:

O limite

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

Para $r = 100\%$ , o limite é o próprio número $e$ ; esta é uma das suas definições habituais. A curva azul é $e^{rt}$ , o saldo quando os juros são creditados continuamente.

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O que observar

O saldo no fim do ano aumenta sempre com $n$ e mantém-se sempre abaixo de $e^{r}$ . Para $n$ grande, a diferença é aproximadamente $e^{r} r^{2} / (2n)$ , pelo que dez vezes mais capitalizações deixam cerca de um décimo da diferença (não logo de início: ao passar de 1 para 10 capitalizações a 100%, a diferença reduz-se a 0.17 do seu valor anterior).
A maior parte do ganho ocorre no início. A 100%, passar de anual a mensal acrescenta 0.61; de mensal a diária, apenas 0.10; de diária a cada minuto, 0.004.
Com taxas correntes, a frequência tem pouco efeito: a 5%, a capitalização anual dá 1.05 e a contínua, 1.0513.
A janela que se abre para $n$ grande amplia os últimos créditos de juros pelo mesmo fator em ambas as direções, preservando as proporções reais dos degraus e da distância a $e^{r}$ .

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Como interpretar corretamente

$r$ é a taxa anual nominal. A taxa efetivamente obtida num ano, a taxa anual efetiva (APY), é $(1 + r/n)^{n} - 1$ , sendo superior sempre que $n > 1$ .
As capitalizações diárias, horárias e a cada minuto pressupõem um ano de 365 dias ( $n = 365$ , 8760, 525 600). A capitalização contínua é um limite, não um $n$ muito grande: a página apresenta $e^{r}$ exatamente, em vez de o estimar a partir do maior $n$ .

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Origem e aplicações

Jacob Bernoulli estudou esta questão em 1683: quanto rende 1 a 100% se os juros forem capitalizados cada vez mais frequentemente? Mostrou que o resultado se aproxima de um limite entre 2 e 3: o número hoje chamado $e$ .
O crescimento proporcional à quantidade atual, capitalizado continuamente, é $e^{kt}$ : a capitalização contínua em finanças e a mesma lei exponencial no crescimento populacional e no decaimento radioativo.

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Controlos

O botão rotativo e as teclas de Taxa definem $r$ . Em Capitalização, as teclas escolhem uma frequência predefinida; o deslizador define o intervalo entre créditos de juros, $1/n$ , numa escala logarítmica, pelo que movê-lo para a direita significa mais capitalizações. Clique num valor para o introduzir pelo teclado.
n → ∞ aumenta $n$ até à potência de dez seguinte, depois passa por cada potência de dez até um milhão, onde para — ainda aquém do limite. Comparar frequências apresenta o saldo no fim do ano para cada frequência. Modo de apresentação abre uma vista de ecrã inteiro para projeção (Espaço inicia n → ∞, ← → dividem ou multiplicam n por 10, H oculta $e^{r}$ ).

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Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Compound interest (Inglês); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (Inglês); MacTutor — História da Matemática: The number e (Inglês).