复利

复利与本页画面

值得注意的现象

• 年末本利和随$n$增大而增大，但始终小于$e^{r}$。$n$足够大时，两者之差约为$e^{r} r^{2} / (2n)$，结息次数增加到10倍，差距约缩小到十分之一（开始时不是这样：年利率100%时从1次到10次，差距只缩小到原来的0.17）。
• 增长主要发生在前面。年利率100%时，从按年到按月多0.61，从按月到按天只多0.10，从按天到每分钟只多0.004。
• 利率不高时，复利次数影响很小：年利率5%，按年复利是1.05，连续复利是1.0513。
• $n$很大时出现的小窗，把最后几次结息在横纵两个方向按同一倍数放大，台阶和与$e^{r}$的差距保持真实比例。

避免误读

• $r$是名义年利率。一年实际得到的收益率是实际年利率$(1 + r/n)^{n} - 1$，只要$n > 1$，它就比$r$高。
• 按天、按小时、按分钟结息都按一年365天计算（$n = 365$、8760、525600）。连续复利是极限，不是一个很大的$n$：本页直接给出$e^{r}$的精确值，而不是从最大的$n$读出来。

来历与用途

• 1683年，雅各布·伯努利研究了这个问题：本金1、年利率100%，结息越来越频繁时，一年后能得到多少？他证明结果趋向2与3之间的一个极限，就是今天所说的$e$。
• 按当前数量成比例、连续不断地增长，结果就是$e^{kt}$：金融中的连续复利，以及人口增长、放射性衰变中的同一个指数规律。

操作

• 利率旋钮和按键设定$r$。复利次数下的按键选择常见的结息频率；推子设定两次结息的间隔$1/n$（对数刻度），向右推表示结息更频繁。点击数值可以直接输入。
• n → ∞让$n$依次推进到下一个10的整数次幂，直到一百万为止——这时仍未达到极限。对照表列出各种结息频率下一年后的本利和。演示模式打开适合投影的全屏视图（空格键运行n → ∞，← →把n除以或乘以10，H键隐藏$e^{r}$）。

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