对数

以$b$为底、$x$的对数记作$\log_b x$，是使$b^y = x$成立的指数$y$：$b$的多少次方等于$x$。它在$x > 0$时有定义，要求$b > 0$且$b \ne 1$。常用的底是10（$\log_{10}$，常用对数）、$e$（$\ln$，自然对数）和2。本页用一条规则解释曲线$y = \log_b x$。

x轴上有一串点：从$x_0$开始，一次次乘同一个数$m$，得到$x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$，往另一边则一次次除以$m$。$m > 1$时这些点在x轴上越隔越远（$m < 1$时链往另一边走），在曲线上每一级台阶却一样高，都是$\log_b m$，因为$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$：两数相乘，对数相加。y轴上的黄色刻痕是等距的。从$x_0 = 1$开始、$m = b$时，高度是0、1、2、3：对数数的是有几个因子$b$。$m = \sqrt b$时两步才凑成一个因子$b$，每步高½，分数指数就是这样来的。整条曲线的样子都出自这条规则：它过$(1, 0)$和$(b, 1)$；越来越平，因为再升高一级要乘同样的倍数，在x轴上要走的路越来越长；往0走是一次次地除，永远到不了0，所以$b > 1$时$x \to 0^+$处曲线一直往下，没有底。

在对数刻度上，一个数放在$\log x$的位置。这串点因此等距排开，曲线变成直线：相等的倍数是相等的距离。计算尺就是两把这样的尺：把一把错开$\log x_0$，尺上每个数都乘了$x_0$，用眼睛读出乘积，约三位有效数字。换底只是把高度按比例缩放，$\log_b x = \ln x / \ln b$；$0 < b < 1$时曲线上下翻转，$\log_{1/b} x = -\log_b x$。还有$\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$：把曲线横向缩放$1/k$倍，等于把它竖直平移$\log_b k$。