複利：インタラクティブな可視化

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この図で見る複利

複利は、利息にも利息が付く仕組みです。利息が残高に加わると、それ以降はその利息も利息を生みます。年利 $r$ を年 $n$ 回組み入れる場合、毎回残高の $r/n$ が加わるため、元本 $P$ は $t$ 年後に $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ になります。 $\lfloor nt \rfloor$ はそれまでの組入れ回数です（組入れ時点では単に $P\,(1 + r/n)^{nt}$ ）。期間ごとの複利を $y = a(1 + r)^{x}$ と書くこともあり、 $a$ は元本、 $r$ は1期間の利率、 $x$ は期間数です。ここでは1期間の利率が $r/n$ 、1年間の期間数が $n$ です。このページでは元本1の1年間を追い、スライダーで $n$ を1から100万まで変えられます。数値を入力する場合は1億まで設定できます。

黄色い階段は残高です。利息の組入れの間は一定で、組入れのたびに1段上がります。下部の赤い目盛りは、1/n 年間隔の組入れ時点を示します。年末には階段が次の値に達します。

1年後の残高

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

$n$ が大きくなるほど段差は小さく、頻繁になり、年末の残高は増えます。しかし、際限なく増えるわけではありません。青い曲線、連続複利に近づきます。

極限

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

$r = 100\%$ のとき、極限は数 $e$ そのものです。これは e の標準的な定義の1つです。青い曲線は $e^{rt}$ 、利息を連続的に組み入れた場合の残高です。

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注目するところ

年末の残高は $n$ とともに増えますが、常に $e^{r}$ より小さいままです。 $n$ が大きいときの差は約 $e^{r} r^{2} / (2n)$ なので、組入れ回数を10倍にすると差はおよそ10分の1になります（最初からそうなるわけではなく、年利100%で1回から10回に増やした場合は約0.17倍になります）。
増加分の大半は早い段階で得られます。年利100%では、年1回から毎月で0.61増えますが、毎月から毎日では0.10、毎日から毎分では0.004だけです。
通常の利率では頻度の影響はわずかです。年利5%なら、年1回で1.05、連続複利で1.0513です。
$n$ が大きいときに開く窓では、最後の数回の組入れを縦横同じ倍率で拡大するため、段差と $e^{r}$ までの差の比率を保てます。

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正しく読み取るために

$r$ は名目年利です。実際に1年間で得られる利率、実効年利（APY）は $(1 + r/n)^{n} - 1$ で、 $n > 1$ なら名目年利より高くなります。
毎日・毎時・毎分の組入れでは1年を365日とします（ $n = 365$ 、8760、525 600）。連続複利は極限であって、非常に大きな $n$ ではありません。このページでは最大の $n$ から読み取るのではなく、 $e^{r}$ を厳密に示します。

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由来と用途

ヤコブ・ベルヌーイは1683年、年利100%で利息を組み入れる回数を増やし続けたとき、元本1がいくらになるかを研究しました。答えが2と3の間の極限、現在 $e$ と呼ばれる数に近づくことを示しました。
現在の量に比例する成長が連続的に積み重なると $e^{kt}$ になります。金融の連続複利だけでなく、人口増加や放射性崩壊にも同じ指数法則が現れます。

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操作方法

利率のノブとキーで $r$ を設定します。複利の頻度のキーでは頻度を選べます。フェーダーは組入れの時間間隔 $1/n$ を対数目盛りで設定し、右へ動かすほど回数が増えます。値をクリックすると入力できます。
n → ∞は $n$ を次の10の累乗まで増やし、その後も10倍ずつ100万まで進めて止まります。それでも極限には届きません。頻度を比較には各頻度での年末残高が並びます。プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります（スペースで n → ∞ を実行、← → で n を10分の1または10倍、H で $e^{r}$ を非表示）。

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