対数

$b$ を底とする $x$ の対数 $\log_b x$ は、$b^y = x$ となる指数 $y$、つまり $b$ を何乗すると $x$ になるかを表します。$x > 0$、$b > 0$、$b \ne 1$ のときに存在します。よく使う底は10（$\log_{10}$、常用対数）、$e$（$\ln$、自然対数）、2です。このページでは1つの規則から曲線 $y = \log_b x$ を説明します。

x 軸上の点列は $x_0$ から始まり、同じ $m$ を繰り返し掛けて $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$ と続きます。逆方向には割っていきます。$m > 1$ なら x 軸上の間隔は次第に広がり（$m < 1$ なら逆方向に進みます）、曲線上の各段差は同じ高さ $\log_b m$ です。$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ が成り立ち、数の掛け算が対数の足し算になるからです。y 軸の黄色い目盛りは等間隔です。$x_0 = 1$ から $m = b$ で進むと高さは0、1、2、3となり、対数が $b$ の因子の個数を数えます。$m = \sqrt b$ なら2段で $b$ を1回掛けるので、1段の高さは½です。ここから分数の指数が生まれます。この規則が曲線全体の形を決めます。$(1, 0)$ と $(b, 1)$ を通り、さらに1段上がるのに同じ倍率、つまりますます長い x 軸の距離が必要なので緩やかになります。割り続けて0へ近づいても0には届かず、$b > 1$ なら $x \to 0^+$ で際限なく下がります。

対数目盛りでは、数を位置 $\log x$ に置きます。点列は等間隔、曲線は直線となり、等しい比が等しい距離に変わります。計算尺はこの目盛りを2つ組み合わせたものです。一方を $\log x_0$ だけずらすと、その上の数はすべて $x_0$ 倍され、積を目で約3桁まで読めます。底を変えても高さの尺度が変わるだけで、$\log_b x = \ln x / \ln b$ です。$0 < b < 1$ では曲線が上下反転し、$\log_{1/b} x = -\log_b x$ となります。また $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$ なので、横方向に $1/k$ 倍することは上に $\log_b k$ だけ移動することと同じです。