Logarithmus

Der Logarithmus von $x$ zur Basis $b$, geschrieben $\log_b x$, ist der Exponent $y$ mit $b^y = x$: Er beschreibt, wie oft $b$ miteinander multipliziert werden muss, um $x$ zu ergeben. Er existiert für $x > 0$, mit $b > 0$ und $b \ne 1$. Übliche Basen sind 10 ($\log_{10}$, der dekadische Logarithmus), $e$ ($\ln$, der natürliche Logarithmus) und 2. Diese Seite erklärt die Kurve $y = \log_b x$ anhand einer Regel.

Auf der x-Achse beginnt eine Punktkette bei $x_0$ und wird immer wieder mit demselben $m$ multipliziert: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$; in Gegenrichtung wird durch ihn geteilt. Für $m > 1$ liegen die Punkte auf der x-Achse immer weiter auseinander (für $m < 1$ läuft die Kette in Gegenrichtung). Auf der Kurve hat jedoch jeder Schritt dieselbe Höhe $\log_b m$, denn $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: Die Multiplikation der Zahlen addiert ihre Logarithmen. Die gelben Markierungen auf der y-Achse sind gleichmäßig verteilt. Ausgehend von $x_0 = 1$ mit $m = b$ sind die Höhen 0, 1, 2, 3: Der Logarithmus zählt die Faktoren $b$. Bei $m = \sqrt b$ ergeben zwei Schritte einen Faktor $b$, jeder ist also ½ hoch — daher kommen gebrochene Exponenten. Diese Regel formt die ganze Kurve: Sie geht durch $(1, 0)$ und $(b, 1)$; sie flacht ab, weil jeder weitere Höhenschritt denselben Faktor verlangt, also eine immer längere Strecke auf der x-Achse. Durch wiederholtes Teilen nähert man sich 0, erreicht es aber nie; für $b > 1$ fällt die Kurve daher bei $x \to 0^+$ unbegrenzt.

Auf einer logarithmischen Skala liegt eine Zahl an der Position $\log x$. Die Kette wird gleichmäßig verteilt und die Kurve zur Geraden: Gleiche Verhältnisse sind gleiche Abstände. Ein Rechenschieber besteht aus zwei solchen Skalen. Verschiebt man eine um $\log x_0$, wird jede Zahl darauf mit $x_0$ multipliziert; Produkte lassen sich mit ungefähr drei gültigen Ziffern ablesen. Ein Basiswechsel skaliert nur die Höhen, $\log_b x = \ln x / \ln b$. Für $0 < b < 1$ wird die Kurve auf den Kopf gestellt, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. Außerdem gilt $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: Die horizontale Skalierung der Kurve mit $1/k$ entspricht einer Verschiebung nach oben um $\log_b k$.