اللوغاريتم

لوغاريتم العدد $x$ للأساس $b$، ويُكتب $\log_b x$، هو الأس $y$ الذي يحقق $b^y = x$: عدد مرات ضرب $b$ في نفسه للحصول على $x$. يوجد عندما $x > 0$، مع $b > 0$ و$b \ne 1$. الأسس الشائعة هي 10 ($\log_{10}$، اللوغاريتم العشري)، و$e$ ($\ln$، اللوغاريتم الطبيعي)، و2. تشرح هذه الصفحة المنحنى $y = \log_b x$ بقاعدة واحدة.

على محور x تبدأ سلسلة نقاط عند $x_0$، وتُضرب مرارًا في $m$ نفسه: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$، وتُقسم عليه في الاتجاه الآخر. عند $m > 1$ تتباعد النقاط أكثر فأكثر على محور x (وعند $m < 1$ تسير السلسلة بالعكس)، لكن كل خطوة على المنحنى لها الارتفاع نفسه $\log_b m$، لأن $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: ضرب الأعداد يجمع لوغاريتماتها. العلامات الصفراء على محور y متساوية التباعد. بدءًا من $x_0 = 1$ مع $m = b$، تكون الارتفاعات 0 و1 و2 و3: يعدّ اللوغاريتم عوامل $b$. ومع $m = \sqrt b$ تشكّل خطوتان عاملًا واحدًا من $b$، فيكون ارتفاع كل منهما ½ — ومن هنا تأتي الأسس الكسرية. تشكّل القاعدة المنحنى كله: يمرّ بـ $(1, 0)$ و$(b, 1)$؛ ويتسطّح، لأن خطوة رأسية إضافية تتطلب العامل نفسه، أي امتدادًا أطول فأطول على محور x؛ والقسمة نحو 0 لا تبلغه أبدًا، لذا عند $b > 1$ يهبط المنحنى بلا حد عندما $x \to 0^+$.

على مقياس لوغاريتمي يقع العدد عند الموضع $\log x$. تصبح السلسلة عندئذ متساوية التباعد والمنحنى مستقيمًا: النسب المتساوية مسافات متساوية. المسطرة الحاسبة تدريجان من هذا النوع: إزاحة أحدهما بمقدار $\log x_0$ تضرب كل عدد عليه في $x_0$، فتقرأ حاصل الضرب بالعين بدقة نحو ثلاث خانات. تغيير الأساس لا يفعل سوى إعادة قياس الارتفاعات، $\log_b x = \ln x / \ln b$؛ وعند $0 < b < 1$ ينقلب المنحنى رأسيًا، $\log_{1/b} x = -\log_b x$. كذلك $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: تغيير مقياس المنحنى أفقيًا بعامل $1/k$ يكافئ إزاحته رأسيًا بمقدار $\log_b k$.