تحويلات الدوال

تحويل رسم دالة يزيحه أو يمدّده أو يضغطه أو يعكسه. بأربعة معاملات تكون الدالة المحوّلة $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$، حيث $b \ne 0$. تستخدم الصفحة افتراضيًا خطًا منكسرًا $f$ بلا تناظر، ليظهر كل تحويل؛ كما تتوفر سبع دوال أصلية شائعة: $x^2$ و$x^3$ و$\sqrt{x}$ و$1/x$ و$|x|$ و$2^x$ و$\sin x$.

المنحنى المتقطع هو الرسم الأصلي $y = f(x)$، والمتصل هو $y = g(x)$. تصل أسهم حمراء بين النقطة P = $(x_0, f(x_0))$ على الأصل وصورتها P′ على $g$، سهم لكل خطوة. تتحرك كل نقطة من الرسم بالقاعدة نفسها:

لماذا يؤثر الداخل بالعكس؟ تقع النقطة $(x, y)$ على رسم $g$ عندما تكون $x_0 = b(x - h)$ مدخلًا لـ $f$ وتتحقق $y = a\,f(x_0) + k$. بحل المعادلة للإحداثي x الجديد نحصل على $x = x_0/b + h$: تُضاف الإزاحة $h$، لكن الإحداثي القديم يُقسم على $b$. لذا تنقل $h = 2$ الرسم يمينًا رغم أن الصيغة تعرض $x - 2$، وتنصّف $b = 2$ عرضه. أما المعاملات الخارجية فتؤثر مباشرة في المخرج.

تُكتب أيضًا $y = f(x + \varphi)$: عند $\varphi > 0$ يتحرك الرسم بمقدار $\varphi$ إلى اليسار، وهو هنا $h = -\varphi$. والدالة الجيبية $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ حالة خاصة من هذه الصفحة أيضًا: $a = A$ و$b = \omega$ و$h = -\varphi/\omega$.

يبني الزر الأحمر $g$ من $f$ خطوة بخطوة: داخل القوس (أفقيًا) أولًا، ثم خارجه (رأسيًا). في الداخل طريقتان يحدّدهما الذراع بجوار الزر. تغيير المقياس أولًا: اقسم إحداثيات x على $b$ (تمديد أو ضغط أفقي بالنسبة لمحور y، مع انعكاس حوله عندما $b < 0$)، ثم أضف $h$. الإزاحة أولًا: أضف $bh$ إلى إحداثيات x، ثم اقسمها على $b$ — فيقسم ذلك الإزاحة أيضًا، ويُبقي $h$ بالضبط. في الخارج: اضرب إحداثيات y في $a$ (تمديد أو ضغط رأسي بالنسبة لمحور x، مع انعكاس حوله عندما $a < 0$)، ثم أضف $k$. تُتجاوز الخطوات التي لا يغيّر معاملها شيئًا.

تنتهي الطريقتان عند $g$ نفسها. بعد كل تشغيل تبقى الرسوم الوسيطة باهتة حتى يتغيّر معامل؛ حرّك الذراع واضغط مجددًا لترى الطريقتين جنبًا إلى جنب.

في كل اتجاه يسبق التمديد الإزاحة عندما تُكتب الإزاحة $h$ أو $k$: الإزاحة بمقدار $h$ أولًا ثم قسمة إحداثيات x على $b$ تقسم الإزاحة أيضًا، فينتهي الرسم مُزاحًا بمقدار $h/b$. (تصح الإزاحة أولًا إذا كان مقدارها $bh$ — جانب «إزاحة» في الذراع.) الخطوات الأفقية والرأسية لا تؤثر إحداها في الأخرى، لذا يمكن البدء بأي اتجاه.