関数のグラフの変換

関数のグラフの変換には、平行移動、拡大・縮小、対称移動があります。4つのパラメーターを使うと、変換後の関数は $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$、ただし $b \ne 0$ です。初期表示は対称性のない折れ線 $f$ で、どの変換も見分けられます。よく使う7つの関数 $x^2$、$x^3$、$\sqrt{x}$、$1/x$、$|x|$、$2^x$、$\sin x$ も選べます。

破線は元のグラフ $y = f(x)$、実線は $y = g(x)$ です。元のグラフ上の点 P = $(x_0, f(x_0))$ と、$g$ 上のその像 P′ を、各段階を表す赤い矢印で結びます。すべての点が同じ規則で動きます。

内側が逆向きに働く理由を見ます。点 $(x, y)$ が $g$ のグラフ上にあるのは、$x_0 = b(x - h)$ が $f$ の入力で、$y = a\,f(x_0) + k$ のときです。新しい x 座標について解くと $x = x_0/b + h$。移動量 $h$ は加えますが、元の座標は $b$ で割ります。だから式に $x - 2$ とあっても $h = 2$ は右へ移動し、$b = 2$ は幅を半分にします。外側のパラメーターは出力へ直接作用します。

$y = f(x + \varphi)$ とも書きます。$\varphi > 0$ ならグラフは左へ $\varphi$ 移動し、ここでは $h = -\varphi$ に当たります。正弦波 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ もこのページの特別な場合で、$a = A$、$b = \omega$、$h = -\varphi/\omega$ です。

赤いボタンは $f$ から $g$ を段階的に作ります。括弧の内側（横方向）、次に外側（縦方向）の順です。内側には2通りあり、ボタン横のレバーで選びます。伸縮が先：x 座標を $b$ で割り（y 軸を基準に横方向へ伸縮、$b < 0$ なら y 軸に関して対称移動）、その後 $h$ を加えます。移動が先：x 座標に $bh$ を加え、$b$ で割ります。移動量も割られるので、最終的にちょうど $h$ になります。外側は y 座標を $a$ 倍し（x 軸を基準に縦方向へ伸縮、$a < 0$ なら x 軸に関して対称移動）、$k$ を加えます。変化のない段階は省略します。

どちらも同じ $g$ に到達します。実行後、途中のグラフはパラメーターを変えるまで薄く残ります。レバーを切り替えて再度実行すると、2つの経路を並べて見られます。

移動量を $h$ や $k$ と書く場合、それぞれの方向で伸縮が移動より先です。先に $h$ 移動してから x 座標を $b$ で割ると、移動量も割られ、最終的な移動量は $h/b$ になります。（先に移動するなら、その量を $bh$ にします。レバーの「移動」側です。）横と縦の操作は互いに影響しないため、どちらの方向からでも構いません。