合同変換：インタラクティブな可視化

この図で見る合同変換

平面の合同変換（等長写像）は、すべての点 P、Q に対して $|f(P)f(Q)| = |PQ|$ を満たし、あらゆる距離を保ちます。平行移動、回転、鏡映、映進の4種類です。最初の2つは図形の向きを保ち（行列式 +1）、後の2つは裏返します（行列式 −1）。そのため右足の鏡像は、斜線で描く左足になります。剛体運動という語を最初の2つだけに使う本もありますが、ここではすべての等長写像を含めます。

このページではすべてを鏡で作ります。鏡1、次に鏡2で映すと、鏡が C で交わり、鏡1から鏡2への向き付き角が $\theta_2 - \theta_1$ なら、C を中心にその角の2倍だけ回転します。平行で距離 d だけ離れていれば、鏡1から鏡2へ垂直な方向に2dの平行移動になります。重なっていれば、すべての点が元に戻ります。

2回の鏡映

\text{交差する鏡：回転角 } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{、中心 } C, \qquad \text{平行な鏡：平行移動の距離 } 2d

2倍になる理由：C から見て鏡1から角 φ にある点 P は、1回目の鏡映で −φ になります。鏡2は鏡1から θ の位置なので、2回目では 2θ + φ に移ります。φ によらずすべての点が2θ回転し、どちらの鏡映でも C からの距離は変わりません。点 Pで2組の等しい角を描きます。結果は鏡の間の角だけで決まるため、両方を C の周りに一緒に回しても変わりません。順序を入れ替えると回転が逆向きになります。

注目するところ

鏡2をその点の周りに回して鏡1の方向へ近づけると、交点 C は鏡1に沿って遠ざかり、回転角は小さくなります。完全に平行になると平行移動です。ほぼ平行でも、まだ遠い中心の周りの回転で、画面の端の矢印が中心の方向と座標を示します。角度は0.001°単位で厳密に保持し、その値から平行、同一直線、鏡映、映進を判定します。表示を丸めた値で判定することはありません。
奇数回の鏡映は図形を裏返します。3枚の鏡は、鏡映してからその軸に沿って平行移動する映進になります。足跡の列の1歩に当たります。ただし3枚が1点で交わるかすべて平行なら、単なる鏡映になります。
目標では逆に考えます。どんな合同変換も最大3枚の鏡で作れます。鏡1は A を A′ に移す垂直二等分線、鏡2は B の像を B′ に移し（A′ を通る）、まだ必要なら鏡3が C の像を C′ に移します（A′ と B′ を通る）。すでに位置が一致する段階は省略し、回転と平行移動には2枚、鏡映には1枚、映進には3枚を使います。

操作方法

鏡の点か鏡自体をドラッグして移動し、輪で回転します。他の鏡から15°ごとに吸着し、平行も含みます。ダイヤルは鏡2を回し、鏡1の方向を印で示します。方向は度数（40、22.5、π/4）で入力できます。目標では破線の足跡をドラッグし、輪で回し、裏返すかダブルクリックで反転します。
プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります。← → で15°回転、H で鏡が作る変換を隠します。鏡と途中の像は残ります。

この図で見る合同変換

注目するところ

操作方法

関連項目