التحويل الصلب: تصوّر تفاعلي

التحويلات الصلبة في هذا التصوّر

التحويل الصلب للمستوى (تحويل حافظ للمسافات) يحافظ على كل مسافة: $|f(P)f(Q)| = |PQ|$ لكل النقطتين P وQ. وله أربعة أنواع بالضبط: الإزاحة والدوران والانعكاس والانعكاس الانزلاقي. يحافظ الأولان على جهة الشكل (المحدِّد +1)؛ ويقلبه الآخران (المحدِّد −1)، ولهذا تكون الصورة المرآتية لأثر القدم قدمًا يسرى، مرسومة بالتخطيط. تحصر بعض الكتب اسم الحركة الصلبة في النوعين الأولين؛ لكنه يعني هنا أي تحويل حافظ للمسافات.

تبني الصفحة الأنواع كلها من المرايا. انعكس في المرآة 1 ثم المرآة 2: إذا تقاطعتا عند C وكانت الزاوية الموجّهة من الأولى إلى الثانية $\theta_2 - \theta_1$ ، فالنتيجة دوران حول C بضعف تلك الزاوية. وإذا توازتا على بُعد d، فالنتيجة إزاحة بمقدار 2d عموديًا عليهما من المرآة 1 نحو 2؛ وإذا انطبقتا عادت كل نقطة إلى موضعها.

انعكاسان

\text{عند التقاطع: دوران بزاوية } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{ حول } C, \qquad \text{عند التوازي: إزاحة بمقدار } 2d

لماذا الضعف؟ نقطة P عند زاوية φ من المرآة 1 كما تُرى من C، تصبح عند −φ بعد الانعكاس الأول؛ وتقع المرآة 2 عند θ من المرآة 1، فيضعها الانعكاس الثاني عند 2θ + φ. تدور كل نقطة بمقدار 2θ مهما كانت φ، ولا يغيّر أي انعكاس بُعدها عن C. يرسم النقطة P هذين الزوجين من الزوايا المتساوية. الزاوية وحدها مهمة، لذا يمكن تدوير المرآتين معًا حول C دون تغيير النتيجة؛ وتبديل ترتيبهما يعكس اتجاه الدوران.

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

أدر المرآة 2 حول نقطتها نحو اتجاه المرآة 1: تبتعد نقطة التقاطع C على امتداد المرآة 1 ويصغر الدوران، وعند التوازي التام يتحول الدوران إلى إزاحة. شبه التوازي يظل دورانًا حول مركز بعيد؛ يشير إليه سهم عند الحافة ويعطي إحداثياته. تحتفظ الصفحة بكل زاوية بدقة إلى جزء من ألف درجة، وتحسم التوازي والتطابق والانعكاس أو الانعكاس الانزلاقي من هذه القيم الدقيقة، لا من قيمة مقرّبة.
عدد فردي من الانعكاسات يقلب الشكل. تصنع ثلاث مرايا انعكاسًا انزلاقيًا — انعكاسًا تتبعه إزاحة على محوره نفسه، كخطوة من أثر قدم إلى التالي — أو انعكاسًا عاديًا إذا التقت المرايا الثلاث في نقطة واحدة أو كانت كلها متوازية.
يعكس الهدف الحجة: يحتاج أي تحويل صلب إلى ثلاث مرايا على الأكثر. المرآة 1 هي العمود المنصّف الذي ينقل A إلى A′، والمرآة 2 تنقل صورة B إلى B′ (وتمرّ بـ A′)، والمرآة 3، إن لزمت، تنقل صورة C إلى C′ (وتمرّ بـ A′ وB′). تُتجاوز خطوة إذا كانت نقطتها في موضعها بالفعل: يحتاج الدوران أو الإزاحة إلى مرآتين، والانعكاس إلى واحدة، والانعكاس الانزلاقي إلى ثلاث.

أدوات التحكم

اسحب نقطة المرآة أو المرآة نفسها لتحريكها، وحلقتها لتدويرها؛ تستقر المرآة الدائرة كل 15° من المرايا الأخرى، بما في ذلك التوازي. يدير القرص المرآة 2، وعليه علامة لاتجاه المرآة 1؛ ويمكن كتابة الاتجاهات بالدرجات (40، 22.5، π/4). في الهدف، اسحب أثر القدم المتقطع، وأدره بحلقته، واقلبه باستخدام اقلب أو النقر المزدوج.
يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض: يدير ← → بمقدار 15°، ويخفي H التحويل الناتج مع إبقاء المرايا والصور.

موضوعات ذات صلة

الدورانات والانعكاسات كمصفوفات في صفحة التحويل الخطي؛ وإزاحة رسوم الدوال وعكسها في صفحة تحويلات الدوال؛ والضرب في عدد مركّب معياره 1 دوران في صفحة المستوى المركّب.

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Rigid transformation (الإنجليزية); ويكيبيديا: Reflection (mathematics) (الإنجليزية); ويكيبيديا: Glide reflection (الإنجليزية).