Le isometrie in questa visualizzazione
Una trasformazione rigida del piano (un’isometria) conserva ogni distanza: per tutti i punti P e Q. Esistono esattamente quattro tipi: traslazioni, rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. I primi due conservano l’orientamento di una figura (determinante +1); gli ultimi due lo invertono (determinante −1), perciò l’immagine speculare dell’impronta è un piede sinistro, tratteggiato. Alcuni libri riservano il nome movimento rigido solo ai primi due; qui indica qualsiasi isometria.
La pagina le costruisce tutte con specchi. Rifletti nello specchio 1, poi nello specchio 2: se si intersecano in C e l’angolo orientato dallo specchio 1 al 2 è , il risultato è una rotazione attorno a C di un angolo doppio. Se sono paralleli, a distanza d, è una traslazione di 2d, perpendicolare a essi dallo specchio 1 verso il 2; se coincidono, ogni punto torna al proprio posto.
Perché il doppio: un punto P ad angolo φ rispetto allo specchio 1, visto da C, si trova a −φ dopo la prima riflessione; lo specchio 2 è a θ dallo specchio 1, quindi la seconda riflessione lo porta a 2θ + φ. Ogni punto ruota di 2θ, qualunque sia φ, e nessuna riflessione cambia la distanza da C. Punto P disegna queste due coppie di angoli uguali. Conta solo l’angolo, quindi entrambi gli specchi possono ruotare insieme attorno a C senza cambiare il risultato; scambiarli ruota nell’altro verso.
Cosa osservare
- Ruota lo specchio 2 attorno al suo punto verso la direzione dello specchio 1: l’intersezione C si allontana lungo lo specchio 1 e la rotazione si riduce; quando sono esattamente paralleli, diventa una traslazione. Quasi paralleli significa ancora rotazione, attorno a un centro lontano; una freccia sul bordo lo indica e ne dà le coordinate. La pagina conserva ogni angolo esattamente, al millesimo di grado, e decide parallelismo, coincidenza, riflessione o glissoriflessione da questi valori esatti, mai da uno arrotondato.
- Un numero dispari di riflessioni capovolge la figura. Tre specchi danno una glissoriflessione — una riflessione seguita da una traslazione lungo il proprio asse, il passo da un’impronta alla successiva — oppure una semplice riflessione quando i tre specchi passano per uno stesso punto o sono tutti paralleli.
- Obiettivo percorre l’argomento al contrario: qualsiasi isometria richiede al massimo tre specchi. Lo specchio 1 è l’asse del segmento che manda A in A′, lo specchio 2 manda l’immagine di B in B′ (passa per A′) e lo specchio 3, se serve ancora, manda l’immagine di C in C′ (passa per A′ e B′). Un passo il cui punto è già al posto giusto viene saltato: una rotazione o traslazione richiede due specchi, una riflessione uno, una glissoriflessione tre.
Comandi
- Trascina il punto di uno specchio o lo specchio stesso per spostarlo, e il suo anello per ruotarlo; ruotando, si aggancia ogni 15° rispetto agli altri specchi, parallelismo compreso. Il quadrante ruota lo specchio 2, con la direzione dello specchio 1 indicata; puoi digitare le direzioni in gradi (40, 22.5, π/4). In Obiettivo, trascina l’impronta tratteggiata, ruotala con l’anello e capovolgila con Capovolgi o un doppio clic.
- Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori: ← → ruotano di 15°, H nasconde la trasformazione prodotta dagli specchi, lasciando specchi e immagini visibili.
Concetti collegati
Rotazioni e riflessioni come matrici sono nella pagina Trasformazione lineare; traslazioni e riflessioni di grafici di funzioni nella pagina Trasformazioni di funzioni; la moltiplicazione per un complesso di modulo 1 è una rotazione nella pagina Piano complesso.
Per approfondire: Wikipedia: Rigid transformation (Inglese); Wikipedia: Reflection (mathematics) (Inglese); Wikipedia: Glide reflection (Inglese).