Движение плоскости: интерактивная визуализация

Движения плоскости в этой визуализации

Движение плоскости (изометрия) сохраняет все расстояния: $|f(P)f(Q)| = |PQ|$ для любых точек P и Q. Есть ровно четыре вида: переносы, повороты, отражения и скользящие отражения. Первые два сохраняют ориентацию фигуры (определитель +1), последние два меняют её (определитель −1), поэтому зеркальный образ следа — заштрихованный след левой стопы. В некоторых книгах термин «жёсткое движение» оставляют лишь для первых двух; здесь он означает любую изометрию.

Здесь все эти преобразования строятся из зеркал. Отразите сначала в зеркале 1, затем в зеркале 2: если они пересекаются в C и направленный угол от зеркала 1 к зеркалу 2 равен $\theta_2 - \theta_1$ , получится поворот вокруг C на удвоенный угол. Если зеркала параллельны и разделены расстоянием d, получится перенос на 2d перпендикулярно им, от зеркала 1 к зеркалу 2. Если они совпадают, каждая точка вернётся на место.

Два отражения

\text{пересекаются: поворот на } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{ вокруг } C, \qquad \text{параллельны: перенос на } 2d

Почему угол удваивается: если смотреть из C, точка P под углом φ к зеркалу 1 после первого отражения оказывается под углом −φ. Зеркало 2 составляет угол θ с зеркалом 1, поэтому второе отражение переводит точку на угол 2θ + φ. Каждая точка поворачивается на 2θ при любом φ, и оба отражения сохраняют её расстояние до C. Точка P показывает эти две пары равных углов. Важен только угол, поэтому оба зеркала можно вместе поворачивать вокруг C без изменения результата; перестановка зеркал меняет направление поворота.

На что обратить внимание

Поворачивайте зеркало 2 вокруг его точки к направлению зеркала 1: точка пересечения C уходит вдоль зеркала 1, угол поворота уменьшается, а при точной параллельности поворот превращается в перенос. Почти параллельные зеркала по-прежнему дают поворот вокруг далёкого центра; стрелка у края указывает на него и показывает координаты. Все углы хранятся точно, до тысячной градуса; параллельность, совпадение прямых, отражение или скользящее отражение определяются по этим точным значениям, без округления.
Нечётное число отражений меняет ориентацию фигуры. Три зеркала дают скользящее отражение — отражение с последующим переносом вдоль его оси, шаг от одного следа дорожки к следующему. Если три зеркала пересекаются в одной точке или все параллельны, получится обычное отражение.
Режим Цель обращает рассуждение: любое движение плоскости требует не более трёх зеркал. Зеркало 1 — серединный перпендикуляр, переводящий A в A′; зеркало 2 переводит образ B в B′ (оно проходит через A′); зеркало 3, если ещё нужно, переводит образ C в C′ (оно проходит через A′ и B′). Шаг пропускается, если его точка уже на месте: повороту или переносу нужны два зеркала, отражению — одно, скользящему отражению — три.

Управление

Перетаскивайте точку зеркала или само зеркало для перемещения, кольцо — для поворота. При повороте зеркало привязывается к углам, кратным 15° относительно других зеркал, включая параллельность. Диск поворачивает зеркало 2; на нём отмечено направление зеркала 1. Направления можно вводить в градусах (40, 22.5, π/4). В режиме Цель перетаскивайте пунктирный след, поворачивайте его кольцом и переворачивайте кнопкой Перевернуть или двойным щелчком.
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора: ← → поворачивают на 15°, H скрывает результат, оставляя зеркала и промежуточные образы.

Связанные темы

Повороты и отражения как матрицы показаны на странице линейного преобразования; переносы и отражения графиков — на странице преобразований функций; умножение на комплексное число с модулем 1 как поворот — на странице комплексной плоскости.

Дополнительные материалы: Википедия: Rigid transformation (Английский); Википедия: Reflection (mathematics) (Английский); Википедия: Glide reflection (Английский).