Преобразования графиков функций

Преобразование графика функции сдвигает его, растягивает, сжимает или отражает. Четыре параметра задают преобразованную функцию $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, где $b \ne 0$. По умолчанию здесь используется ломаная $f$ без симметрии, чтобы каждое преобразование было заметно; также доступны семь привычных исходных функций: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$ и $\sin x$.

Пунктирная кривая — исходный график $y = f(x)$, сплошная — $y = g(x)$. Точка P = $(x_0, f(x_0))$ на исходном графике и её образ P′ на $g$ соединены красными стрелками, по одной на каждый шаг. Каждая точка графика перемещается по одному правилу:

Почему внутри всё наоборот: точка $(x, y)$ лежит на графике $g$, когда $x_0 = b(x - h)$ служит аргументом $f$ и $y = a\,f(x_0) + k$. Решение относительно новой x-координаты даёт $x = x_0/b + h$: сдвиг $h$ прибавляется, а прежняя координата делится на $b$. Поэтому $h = 2$ сдвигает график вправо, хотя в формуле стоит $x - 2$, а $b = 2$ делит ширину пополам. Внешние параметры действуют непосредственно на значение функции.

Другая запись — $y = f(x + \varphi)$: при $\varphi > 0$ график сдвигается на $\varphi$ влево, здесь это $h = -\varphi$. Синусоида $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ также является частным случаем этой страницы: $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

Красная кнопка по шагам строит $g$ из $f$: сначала внутри скобок (по горизонтали), затем снаружи (по вертикали). Для внутренней части есть два способа; их выбирает переключатель рядом с кнопкой. Сначала масштабирование: разделить x-координаты на $b$ (растяжение или сжатие по горизонтали относительно оси y, с отражением относительно неё при $b < 0$), затем прибавить $h$. Сначала сдвиг: прибавить $bh$ к x-координатам, затем разделить их на $b$ — при этом сдвиг тоже делится и становится ровно $h$. Снаружи: умножить y-координаты на $a$ (растяжение или сжатие по вертикали относительно оси x, с отражением относительно неё при $a < 0$), затем прибавить $k$. Шаги, параметры которых ничего не меняют, пропускаются.

Оба способа приводят к одной и той же $g$. После каждого запуска промежуточные графики остаются бледными до изменения параметра; переключите порядок и нажмите снова, чтобы увидеть оба пути рядом.

В каждом направлении растяжение предшествует сдвигу, если сдвиг записан как $h$ или $k$: сначала сдвиг на $h$, затем деление x-координат на $b$ делит и сам сдвиг, в результате график сдвинут на $h/b$. (Сдвиг можно делать первым, если он равен $bh$ — это положение «Сдвиг».) Горизонтальные и вертикальные шаги не влияют друг на друга, поэтому любое из направлений может идти первым.