함수의 그래프 변환

함수 그래프의 변환은 그래프를 옮기거나, 늘이거나 줄이거나, 대칭이동합니다. 네 매개변수를 쓰면 변환한 함수는 $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$이며 $b \ne 0$입니다. 기본값은 대칭이 없는 꺾은선 $f$이므로 모든 변환의 효과가 드러납니다. 익숙한 기본 함수 일곱 개 $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$, $\sin x$도 있습니다.

점선은 기본 그래프 $y = f(x)$, 실선은 $y = g(x)$입니다. 기본 그래프의 점 P = $(x_0, f(x_0))$와 $g$ 위의 상 P′를 단계마다 빨간 화살표로 잇습니다. 그래프의 모든 점은 같은 규칙으로 움직입니다.

안쪽이 반대로 작용하는 이유를 봅시다. 점 $(x, y)$가 $g$의 그래프 위에 있으려면 $x_0 = b(x - h)$가 $f$의 입력이고 $y = a\,f(x_0) + k$여야 합니다. 새로운 x좌표에 대해 풀면 $x = x_0/b + h$입니다. 이동량 $h$은 더하지만 기존 좌표는 $b$로 나눕니다. 따라서 $h = 2$은 수식에 $x - 2$가 보여도 그래프를 오른쪽으로 옮기고, $b = 2$은 폭을 절반으로 만듭니다. 바깥쪽 매개변수는 출력값에 직접 작용합니다.

$y = f(x + \varphi)$로도 씁니다. $\varphi > 0$이면 왼쪽으로 $\varphi$만큼 이동하며, 여기서는 $h = -\varphi$입니다. 사인형 함수 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$도 이 페이지의 특수한 경우로, $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$입니다.

빨간 버튼은 $f$에서 $g$를 단계별로 만듭니다. 괄호 안쪽(가로)을 먼저, 바깥쪽(세로)을 나중에 처리합니다. 안쪽은 버튼 옆 레버로 두 방법 중 하나를 고릅니다. 크기 변환 먼저: x좌표를 $b$로 나눈 뒤 $h$을 더합니다. y축을 기준으로 가로로 늘이거나 줄이고, $b < 0$이면 y축 대칭도 합니다. 평행이동 먼저: x좌표에 $bh$를 더한 뒤 $b$으로 나눕니다. 이동량도 나뉘어 정확히 $h$이 남습니다. 바깥쪽은 y좌표에 $a$를 곱한 뒤 $k$를 더합니다. x축을 기준으로 세로로 늘이거나 줄이고, $a < 0$이면 x축 대칭도 합니다. 아무 변화가 없는 매개변수의 단계는 건너뜁니다.

두 방법 모두 같은 $g$에 도착합니다. 실행이 끝나면 중간 그래프들이 매개변수를 바꿀 때까지 희미하게 남습니다. 레버를 바꾸어 다시 누르면 두 경로를 나란히 볼 수 있습니다.

이동량을 $h$ 또는 $k$로 썼다면 각 방향에서 크기 변환을 먼저 합니다. $h$만큼 이동한 뒤 x좌표를 $b$로 나누면 이동량도 나뉘어 최종 이동량이 $h/b$가 됩니다. 이동부터 하려면 이동량을 $bh$로 정해야 합니다. 레버의 평행이동 쪽이 이 방법입니다. 가로 단계와 세로 단계는 서로 영향을 주지 않으므로 어느 방향부터 해도 됩니다.