이차함수

이 시각화에서 살펴보는 이차함수

살펴볼 점

• 완전제곱식 만들기는 평행이동과 연결됩니다. 위의 세 단계가 일반형을 꼭짓점형으로 바꾸며, $a(x - h)^2 + k$는 $y = ax^2$을 x축 방향으로 $h$, 위아래로 $k$만큼 옮긴 것입니다. 꼭짓점형에서 $h$이나 $k$을 조절하거나 꼭짓점을 드래그하면 $y = ax^2$과 두 이동을 그립니다.
• $\Delta > 0$: 실근 두 개. $\Delta = 0$: 중근 하나, 꼭짓점이 축 위에 있습니다. $\Delta < 0$: 실근 없음. 이때 방정식 $ax^2 + bx + c = 0$은 켤레복소근 두 개를 가지며, 이 그래프 위의 점은 아닙니다.
• $a$는 세 표현식에서 같은 수이며, 포물선의 폭과 열리는 방향을 결정합니다. $b$만 바꾼다고 그래프가 단순히 옆으로 움직이지는 않습니다. 꼭짓점은 포물선 $y = c - ax^2$를 따라갑니다. $a$만 바꾸면 표현식마다 고정되는 것이 다릅니다. 일반형에서는 $(0, c)$와 그곳의 접선 $y = bx + c$가 고정되어 모든 포물선이 그 점에서 해당 직선에 접하고, 꼭짓점은 직선 $y = c + \tfrac{b}{2}x$을 따라갑니다. 꼭짓점형에서는 꼭짓점이 고정됩니다. 인수분해형에서는 근이 고정되고 꼭짓점은 대칭축 위를 움직입니다.
• 페이지는 정확한 분수로 계산하므로 표현식에 정확한 소수, 분수, 제곱근을 표시합니다. 너무 길어 표시하기 어려운 수는 반올림하고 식에 ≈를 씁니다. 던진 공 장면 외에는 두 축의 축척이 같으며, 다를 때는 그래프에 안내를 표시합니다.

조작 방법

• 모드 다이얼로 조절할 표현식을 고릅니다. 일반형에서는 $a$, $b$, $c$를 노브로 설정하고, 꼭짓점형에서는 $a$과 꼭짓점 $(h, k)$를, 인수분해형에서는 $a$와 두 근을 미세 조절 휠로 설정합니다. 실근이 없으면 인수분해형을 선택할 수 없습니다. 변환 상세를 열면 나머지 두 표현식의 수와 교과서 공식을 볼 수 있습니다.
• 그래프의 점을 잡으면 그 점에 해당하는 표현식으로 바뀝니다. 꼭짓점을 드래그하면 포물선이 이동합니다. 근은 x축을 따라 움직입니다($a$와 다른 근은 고정됩니다. 다른 근이 무리수면 먼저 소수점 아래 여섯 자리로 나타내며, 눈에 보이지 않을 만큼 작은 변화입니다. 중근을 움직이면 포물선 전체가 옆으로 이동합니다). y절편은 y축을 따라 움직이며 $c$만 바뀝니다. 나머지 부분을 드래그하면 화면이 이동합니다. 수를 누르면 소수나 3/4 같은 분수를 입력할 수 있습니다.
• 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다(방향키로 포물선 이동, H로 정답 숨기기. 조절 중인 표현식의 수만 남고, 나머지 두 표현식과 변환식에는 물음표가 표시됩니다).

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