Fonction du second degré : visualisation interactive

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Les fonctions du second degré dans cette visualisation

Une fonction du second degré est une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \ne 0$ . Sa courbe est une parabole, ouverte vers le haut lorsque $a > 0$ et vers le bas lorsque $a < 0$ . Cette page écrit une même fonction sous trois formes équivalentes : le sélecteur en haut du panneau choisit celle que vous réglez, et les trois restent synchronisées lorsque vous déplacez la courbe ou actionnez les commandes.

Formes développée · canonique · factorisée

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Chaque forme révèle une propriété de la courbe. Dans la forme développée, $c$ donne l’ordonnée à l’origine : la courbe coupe l’axe des y au point creux $(0, c)$ ; son image $(2h, c)$ montre la symétrie. La forme canonique montre le sommet $(h, k)$ et l’axe de symétrie $x = h$ . La forme factorisée montre les racines, où la courbe rencontre l’axe des x ; sur les réels, elle n’existe que lorsque le discriminant est positif ou nul.

Sommet et racines à partir de a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Compléter le carré : de la forme développée à la forme canonique

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

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À observer

Compléter le carré correspond à une translation : les trois étapes ci-dessus passent de la forme développée à la forme canonique, et $a(x - h)^2 + k$ est $y = ax^2$ déplacée de $h$ selon l’axe des x et de $k$ verticalement. Modifier $h$ ou $k$ dans la forme canonique, ou déplacer le sommet, trace $y = ax^2$ et les deux déplacements.
$\Delta > 0$ : deux racines réelles ; $\Delta = 0$ : une racine double, sommet sur l’axe ; $\Delta < 0$ : aucune racine réelle — l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ a alors deux racines complexes conjuguées, qui ne sont pas des points de ce graphique.
$a$ est le même nombre dans les trois formes : il fixe la largeur de la parabole et son sens d’ouverture. Modifier uniquement $b$ ne fait pas glisser la courbe horizontalement ; le sommet parcourt la parabole $y = c - ax^2$ . Modifier uniquement $a$ conserve une chose différente dans chaque forme : en forme développée, $(0, c)$ et la tangente $y = bx + c$ en ce point restent fixes — toutes les paraboles sont tangentes à cette droite en ce point — et le sommet parcourt la droite $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ; en forme canonique, le sommet reste fixe ; en forme factorisée, les racines restent fixes et le sommet parcourt l’axe de symétrie.
La page calcule avec des fractions exactes : les formes affichent donc des décimaux, fractions ou racines carrées exacts. Un nombre trop long à afficher est arrondi, et son équation est alors écrite avec ≈. Les deux axes ont la même échelle, sauf dans la vue choisie de la balle lancée ; une note le signale sur le graphique lorsqu’elles diffèrent.

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Commandes

Le sélecteur choisit la forme que vous réglez : la forme développée règle $a$ , $b$ et $c$ (boutons), la forme canonique $a$ et le sommet $(h, k)$ , la forme factorisée $a$ et les deux racines (roues pour les réglages fins) ; sans racines réelles, la position factorisée est bloquée. Ouvrez Détails de conversion pour voir les valeurs des deux autres formes avec les formules usuelles.
Saisir un point du graphique active sa forme. Déplacez le sommet pour déplacer la parabole, une racine le long de l’axe des x ( $a$ et l’autre racine restent fixes ; si celle-ci est irrationnelle, elle est d’abord écrite à six décimales, un changement invisible ; déplacer une racine double translate toute la parabole horizontalement), ou l’ordonnée à l’origine le long de l’axe des y (seul $c$ change) ; ailleurs, faites glisser pour déplacer la vue. Cliquez sur un nombre pour saisir un décimal ou une fraction comme 3/4.
Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (les flèches déplacent la parabole ; H masque les réponses : seuls les nombres de la forme réglée restent, les deux autres formes et les conversions affichent des points d’interrogation).

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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Quadratic function (Anglais); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (Anglais).