Transformations de fonctions

Une transformation de la courbe d’une fonction la translate, l’étire, la comprime ou lui applique une symétrie. Avec quatre paramètres, la fonction transformée est $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, où $b \ne 0$. Par défaut, cette page utilise une ligne brisée $f$ sans symétrie, afin que chaque transformation soit visible ; sept fonctions de référence usuelles sont également disponibles : $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$ et $\sin x$.

La courbe en pointillés est la courbe de référence $y = f(x)$, celle en trait continu est $y = g(x)$. Un point P = $(x_0, f(x_0))$ sur la référence et son image P′ sur $g$ sont reliés par des flèches rouges, une par étape. Chaque point de la courbe suit la même règle :

Pourquoi l’intérieur agit à l’inverse : un point $(x, y)$ appartient à la courbe de $g$ lorsque $x_0 = b(x - h)$ est un argument de $f$ et $y = a\,f(x_0) + k$. Résoudre pour la nouvelle abscisse donne $x = x_0/b + h$ : la translation $h$ est ajoutée, mais l’ancienne abscisse est divisée par $b$. Ainsi, $h = 2$ déplace la courbe vers la droite malgré le $x - 2$ de la formule, et $b = 2$ divise sa largeur par deux. Les paramètres extérieurs agissent directement sur la valeur de sortie.

On écrit aussi $y = f(x + \varphi)$ : pour $\varphi > 0$, la courbe se déplace de $\varphi$ vers la gauche, ce qui correspond ici à $h = -\varphi$. La sinusoïde $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ est aussi un cas particulier de cette page : $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

Le bouton rouge construit $g$ à partir de $f$, étape par étape : d’abord l’intérieur des parenthèses (horizontal), puis l’extérieur (vertical). À l’intérieur, deux chemins sont possibles, choisis avec le levier à côté du bouton. Échelle d’abord : diviser les abscisses par $b$ (étirement ou compression horizontale par rapport à l’axe des y, avec symétrie par rapport à cet axe lorsque $b < 0$), puis ajouter $h$. Translation d’abord : ajouter $bh$ aux abscisses, puis les diviser par $b$ — ce qui divise aussi la translation, pour laisser exactement $h$. À l’extérieur : multiplier les ordonnées par $a$ (étirement ou compression verticale par rapport à l’axe des x, avec symétrie lorsque $a < 0$), puis ajouter $k$. Les étapes dont le paramètre ne change rien sont ignorées.

Les deux chemins aboutissent à la même $g$. Après chaque animation, les courbes intermédiaires restent discrètement visibles jusqu’à la modification d’un paramètre ; basculez le levier et appuyez à nouveau pour voir les deux chemins côte à côte.

Dans chaque direction, l’étirement précède la translation lorsque celle-ci s’écrit $h$ ou $k$ : translater d’abord de $h$ puis diviser les abscisses par $b$ divise aussi la translation, et la courbe se retrouve décalée de $h/b$. (Commencer par la translation fonctionne si elle vaut $bh$ — le côté Translation du levier.) Les étapes horizontales et verticales n’interfèrent pas ; on peut commencer par l’une ou l’autre direction.