函數圖形變換

函數圖形的變換，可以是平移、伸長、壓縮或鏡射。用四個參數表示，變換後的函數是 $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$，其中 $b \ne 0$。本頁預設使用沒有對稱性的折線 $f$，讓每種變換都看得出來；也提供七個常見的母函數：$x^2$、$x^3$、$\sqrt{x}$、$1/x$、$|x|$、$2^x$ 與 $\sin x$。

虛線是母函數圖形 $y = f(x)$，實線是 $y = g(x)$。母函數圖形上的點 P = $(x_0, f(x_0))$ 與它在 $g$ 上的像 P′ 之間，以紅色箭頭相連，每個箭頭表示一步。圖形上的每一點都遵循相同的移動規則：

為何內部的作用像是相反的？當 $x_0 = b(x - h)$ 是 $f$ 的輸入，且 $y = a\,f(x_0) + k$ 時，點 $(x, y)$ 就在 $g$ 的圖形上。解出新的 x 座標，得到 $x = x_0/b + h$：位移 $h$ 是加上去的，原座標卻要除以 $b$。因此，雖然式子裡寫著 $x - 2$，$h = 2$ 仍會讓圖形向右移，而 $b = 2$ 會讓寬度減半。外部的參數則直接作用於輸出值。

也可以寫成 $y = f(x + \varphi)$：對 $\varphi > 0$ 而言，圖形向左移 $\varphi$，也就是本頁的 $h = -\varphi$。正弦型函數 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ 也是本頁的一種特例：$a = A$、$b = \omega$、$h = -\varphi/\omega$。

紅色按鈕逐步把 $f$ 變成 $g$：先處理括號內（水平方向），再處理括號外（垂直方向）。括號內有兩種順序，可用按鈕旁的切換桿選擇。先伸縮：將 x 座標除以 $b$（以 y 軸為基準水平伸長或壓縮，$b < 0$ 時再對 y 軸鏡射），接著加上 $h$。先平移：將 x 座標加上 $bh$，再除以 $b$；位移也會被除，最後恰好剩下 $h$。括號外：將 y 座標乘以 $a$（以 x 軸為基準垂直伸長或壓縮，$a < 0$ 時再對 x 軸鏡射），接著加上 $k$。參數不造成變化的步驟會略過。

兩種順序最後都得到相同的 $g$。每次執行後，途中的圖形會淡淡地保留，直到參數改變；切換順序再按一次，就能並排比較兩種做法。

當位移寫成 $h$ 或 $k$ 時，各方向都要先伸縮再平移：若先平移 $h$，再把 x 座標除以 $b$，位移也會跟著被除，圖形最後只平移 $h/b$。（若位移是 $bh$，就可以先平移，也就是切換桿的「平移」側。）水平與垂直的操作互不影響，因此任一方向都可以先做。