剛體變換：互動視覺化

這個視覺化中的剛體變換

平面上的剛體變換（等距變換）保留所有距離：對任意點 P、Q，都有 $|f(P)f(Q)| = |PQ|$ 。它恰有四類：平移、旋轉、鏡射、滑移鏡射。前兩類不使圖形翻面（行列式 +1），後兩類使圖形翻面（行列式 −1），因此右腳印的鏡像是左腳，以斜線表示。有些書只把前兩類稱為剛體運動；本頁則用它泛指所有等距變換。

本頁用鏡面構造這些變換。先對鏡面 1 鏡射，再對鏡面 2 鏡射：若兩鏡面交於 C，從鏡面 1 到鏡面 2 的有向角為 $\theta_2 - \theta_1$ ，結果就是繞 C 旋轉兩倍的角度。若兩鏡面平行，相距 d，結果是沿垂直鏡面的方向，從鏡面 1 向鏡面 2 平移 2d；若兩鏡面重合，每個點都回到原位。

兩次鏡射

\text{相交：轉角 } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{，旋轉中心 } C, \qquad \text{平行：平移 } 2d

為何是兩倍：從 C 看，點 P 與鏡面 1 夾角為 φ，第一次鏡射後成為 −φ；鏡面 2 與鏡面 1 夾角為 θ，第二次鏡射便把它放到 2θ + φ。無論 φ 為何，每個點都轉了 2θ，兩次鏡射也都不改變它與 C 的距離。點 P會畫出這兩對相等的角。結果只取決於夾角，因此兩鏡面可以一起繞 C 旋轉而不改變結果；交換順序則會反向旋轉。

值得觀察的地方

讓鏡面 2 繞自身的點轉向鏡面 1 的方向：交點 C 沿鏡面 1 遠去，轉角縮小；恰好平行時，旋轉就成了平移。接近平行時仍是旋轉，只是中心非常遠；畫面邊緣的箭頭會指向它並標出座標。本頁精確保留角度到千分之一度，是否平行、重合、鏡射或滑移鏡射，都由這些精確值判定，不用四捨五入後的數值判斷。
奇數次鏡射會使圖形翻面。三面鏡子合成滑移鏡射——先鏡射，再沿鏡射軸平移，如足跡從一個腳印走到下一個——或在三鏡面交於一點、或全部平行時，合成單純的鏡射。
目標把論證倒過來：任何剛體變換最多只需三面鏡子。鏡面 1 是將 A 映到 A′ 的垂直平分線；鏡面 2 將 B 的像映到 B′（通過 A′）；若仍有需要，鏡面 3 將 C 的像映到 C′（通過 A′ 和 B′）。某點已到位時便略過該步：旋轉或平移需兩面鏡子，鏡射需一面，滑移鏡射需三面。

操作方式

拖曳鏡面上的點或鏡面本身來移動，拖曳圓環來旋轉；旋轉時，以其他鏡面的方向為基準，每隔 15° 會有吸附，包括平行位置。轉盤控制鏡面 2，並標出鏡面 1 的方向；也可直接輸入度數（40、22.5、π/4）。在目標模式中，拖曳虛線腳印來移動，用圓環旋轉，按翻面或按兩下來翻面。
簡報模式開啟適合投影的全螢幕畫面：← → 每次旋轉 15°，H 隱藏鏡射合成的結果，但保留鏡面與中間的像。

這個視覺化中的剛體變換

值得觀察的地方

操作方式

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