Transformasi Kaku: Visualisasi Interaktif

Transformasi kaku dalam visualisasi ini

Transformasi kaku pada bidang (sebuah isometri) mempertahankan setiap jarak: $|f(P)f(Q)| = |PQ|$ untuk semua titik P dan Q. Ada tepat empat jenis: translasi, rotasi, pencerminan, dan pencerminan geser. Dua yang pertama mempertahankan sisi bangun (determinan +1); dua terakhir membaliknya (determinan −1), itulah sebabnya bayangan cermin jejak kaki adalah kaki kiri, digambar berarsir garis. Beberapa buku memakai istilah gerak kaku hanya untuk dua yang pertama; di sini istilah itu berarti setiap isometri.

Halaman ini membangun semuanya dari cermin. Cerminkan terhadap cermin 1, lalu cermin 2: jika cermin berpotongan di C dan sudut berarah dari cermin 1 ke cermin 2 adalah $\theta_2 - \theta_1$ , hasilnya rotasi terhadap C sebesar dua kali sudut itu. Jika sejajar, berjarak d, hasilnya translasi sebesar 2d, tegak lurus dari cermin 1 menuju cermin 2; jika berimpit, setiap titik kembali ke tempat semula.

Dua pencerminan

\text{berpotongan: putaran sebesar } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{ terhadap } C, \qquad \text{sejajar: pergeseran sebesar } 2d

Mengapa dua kali: titik P pada sudut φ dari cermin 1, dilihat dari C, berada pada −φ setelah pencerminan pertama; cermin 2 berada pada θ dari cermin 1, sehingga pencerminan kedua menempatkannya pada 2θ + φ. Setiap titik berputar sebesar 2θ, apa pun φ-nya, dan tidak satu pun pencerminan mengubah jaraknya dari C. Titik P menggambar dua pasang sudut sama ini. Hanya sudut yang menentukan, sehingga kedua cermin dapat berputar bersama terhadap C tanpa mengubah hasil; menukar urutannya memutar ke arah sebaliknya.

Hal yang perlu diperhatikan

Putar cermin 2 terhadap titiknya menuju arah cermin 1: titik potong C bergerak menjauh sepanjang cermin 1 dan putarannya menyusut, lalu saat tepat sejajar rotasi menjadi translasi. Hampir sejajar tetap merupakan rotasi, terhadap pusat yang jauh; panah di tepi menunjuk ke sana dan memberi koordinatnya. Halaman ini mempertahankan setiap sudut secara eksak hingga seperseribu derajat, dan memutuskan sejajar, garis sama, pencerminan, atau pencerminan geser dari nilai eksak itu, bukan nilai bulatan.
Jumlah pencerminan yang ganjil membalik bangun. Tiga cermin menghasilkan pencerminan geser — pencerminan diikuti pergeseran sepanjang sumbunya sendiri, langkah dari satu jejak kaki ke berikutnya — atau pencerminan biasa jika ketiga cermin bertemu di satu titik atau semuanya sejajar.
Sasaran membalik argumennya: setiap transformasi kaku membutuhkan paling banyak tiga cermin. Cermin 1 adalah garis sumbu tegak lurus yang memetakan A ke A′, cermin 2 memetakan bayangan B ke B′ (melalui A′), dan cermin 3, jika masih perlu, memetakan bayangan C ke C′ (melalui A′ dan B′). Langkah yang titiknya sudah tepat dilewati: rotasi atau translasi memerlukan dua cermin, pencerminan satu, pencerminan geser tiga.

Kontrol

Seret titik cermin atau cerminnya untuk menggeser, dan cincinnya untuk memutar; cermin yang diputar melekat setiap 15° dari cermin lain, termasuk sejajar. Dial memutar cermin 2, dengan arah cermin 1 ditandai di atasnya; arah dapat diketik dalam derajat (40, 22.5, π/4). Pada Sasaran, seret jejak kaki putus-putus, putar dengan cincinnya, dan balik dengan Balik atau klik dua kali.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor: ← → memutar sebesar 15°, H menyembunyikan hasil cermin sementara cermin dan bayangan tetap terlihat.

Terkait

Rotasi dan pencerminan sebagai matriks ada di halaman transformasi linear; pergeseran dan pencerminan grafik fungsi di halaman transformasi fungsi; perkalian dengan bilangan kompleks bermodulus 1 adalah rotasi di halaman bidang kompleks.

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Rigid transformation (Bahasa Inggris); Wikipedia: Reflection (mathematics) (Bahasa Inggris); Wikipedia: Glide reflection (Bahasa Inggris).