Transformasi fungsi

Transformasi grafik fungsi menggeser, meregangkan atau memampatkan, atau mencerminkannya. Dengan empat parameter, fungsi hasil transformasi adalah $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, dengan $b \ne 0$. Secara bawaan, halaman ini memakai garis patah $f$ tanpa simetri, sehingga setiap transformasi terlihat; tujuh fungsi induk umum juga tersedia: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$, dan $\sin x$.

Kurva putus-putus adalah grafik induk $y = f(x)$, kurva utuh adalah $y = g(x)$. Titik P = $(x_0, f(x_0))$ pada induk dan bayangannya P′ pada $g$ dihubungkan panah merah, satu untuk tiap langkah. Setiap titik grafik bergerak dengan aturan sama:

Mengapa bagian dalam bekerja berlawanan arah: titik $(x, y)$ terletak pada grafik $g$ saat $x_0 = b(x - h)$ adalah masukan $f$ dan $y = a\,f(x_0) + k$. Menyelesaikan koordinat x baru memberikan $x = x_0/b + h$: pergeseran $h$ ditambahkan, tetapi koordinat lama dibagi $b$. Jadi $h = 2$ menggeser grafik ke kanan meskipun rumus menampilkan $x - 2$, dan $b = 2$ membagi dua lebarnya. Parameter luar bekerja langsung pada keluaran.

Juga ditulis $y = f(x + \varphi)$: untuk $\varphi > 0$, grafik bergeser $\varphi$ ke kiri, yaitu $h = -\varphi$ di sini. Sinusoid $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ juga merupakan kasus khusus halaman ini: $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

Tombol merah membangun $g$ dari $f$ langkah demi langkah: di dalam kurung (horizontal) dahulu, lalu di luar (vertikal). Di dalam ada dua cara, dipilih dengan tuas di samping tombol. Skalakan dahulu: bagi koordinat x dengan $b$ (peregangan atau pemampatan horizontal terhadap sumbu y, disertai pencerminan terhadapnya saat $b < 0$), lalu tambahkan $h$. Geser dahulu: tambahkan $bh$ ke koordinat x, lalu bagi dengan $b$ — yang juga membagi pergeseran, menyisakan tepat $h$. Di luar: kalikan koordinat y dengan $a$ (peregangan atau pemampatan vertikal terhadap sumbu x, disertai pencerminan terhadapnya saat $a < 0$), lalu tambahkan $k$. Langkah yang parameternya tidak mengubah apa pun dilewati.

Kedua cara berakhir pada $g$ yang sama. Setelah tiap proses, grafik perantara tetap terlihat samar hingga parameter berubah; pindahkan tuas dan tekan lagi, dan kedua cara tampil berdampingan.

Pada setiap arah, peregangan mendahului pergeseran jika pergeserannya ditulis $h$ atau $k$: menggeser sebesar $h$ dahulu lalu membagi koordinat x dengan $b$ juga membagi pergeseran, dan grafik akhirnya bergeser sebesar $h/b$. (Menggeser dahulu bekerja jika pergeserannya $bh$ — sisi Geser pada tuas.) Langkah horizontal dan vertikal tidak saling memengaruhi, jadi salah satu arah boleh didahulukan.