Trasformazioni di funzioni

Una trasformazione del grafico di una funzione lo trasla, lo dilata, lo comprime oppure lo riflette. Con quattro parametri la funzione trasformata è $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, dove $b \ne 0$. Per impostazione predefinita questa pagina usa una spezzata $f$ senza simmetrie, così ogni trasformazione è visibile; sono presenti anche sette funzioni di partenza comuni: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$ e $\sin x$.

La curva tratteggiata è il grafico di partenza $y = f(x)$, quella continua è $y = g(x)$. Un punto P = $(x_0, f(x_0))$ sul grafico di partenza e la sua immagine P′ su $g$ sono uniti da frecce rosse, una per ogni passo. Ogni punto del grafico si sposta con la stessa regola:

Perché l’interno agisce al contrario: un punto $(x, y)$ appartiene al grafico di $g$ quando $x_0 = b(x - h)$ è un argomento di $f$ e $y = a\,f(x_0) + k$. Risolvendo rispetto alla nuova coordinata x si ottiene $x = x_0/b + h$: la traslazione $h$ viene sommata, ma la vecchia coordinata viene divisa per $b$. Quindi $h = 2$ sposta il grafico a destra anche se la formula mostra $x - 2$, e $b = 2$ ne dimezza la larghezza. I parametri esterni agiscono direttamente sul valore della funzione.

Si scrive anche $y = f(x + \varphi)$: per $\varphi > 0$ il grafico si sposta di $\varphi$ a sinistra, che qui corrisponde a $h = -\varphi$. Anche la sinusoide $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ è un caso particolare di questa pagina: $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

Il pulsante rosso costruisce $g$ da $f$ passo dopo passo: prima dentro la parentesi (orizzontale), poi fuori (verticale). All’interno ci sono due modi, scelti con la leva accanto al pulsante. Prima scala: dividi le coordinate x per $b$ (una dilatazione o compressione orizzontale rispetto all’asse y, con riflessione rispetto a esso quando $b < 0$), poi somma $h$. Prima trasla: somma $bh$ alle coordinate x, poi dividile per $b$ — il che divide anche la traslazione, lasciando esattamente $h$. All’esterno: moltiplica le coordinate y per $a$ (una dilatazione o compressione verticale rispetto all’asse x, con riflessione rispetto a esso quando $a < 0$), poi somma $k$. I passi il cui parametro non cambia nulla vengono saltati.

Entrambi i modi arrivano alla stessa $g$. Dopo ogni esecuzione, i grafici intermedi restano tenui finché non cambia un parametro; sposta la leva e premi ancora: i due percorsi appaiono fianco a fianco.

In ciascuna direzione la dilatazione precede la traslazione quando questa è scritta come $h$ o $k$: traslare prima di $h$ e poi dividere le coordinate x per $b$ divide anche la traslazione e il grafico risulta traslato di $h/b$. (Traslare prima funziona se la traslazione è $bh$ — il lato Trasla della leva.) I passi orizzontali e verticali non interferiscono, quindi si può iniziare da una qualunque delle due direzioni.