Funzione sinusoidale: ampiezza, periodo e sfasamento, grafico interattivo

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Le funzioni sinusoidali in questa visualizzazione

Una funzione sinusoidale, o sinusoide, è una funzione della forma $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ con $A \ne 0$ e $\omega > 0$ : il grafico di $\sin x$ dilatato, compresso e traslato. Si scrive anche $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , con $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ . Anche le curve del coseno sono sinusoidi, perché $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . Il pannello regola $A$ e $\omega$ con manopole ( $\omega$ da ½ a 4) e la traslazione $-\varphi/\omega$ e $k$ con cursori.

La curva tratteggiata è quella di partenza $y = \sin x$ ; quella continua è la funzione nel pannello. I segni gialli misurano ciò che impostano i parametri, un ruolo ciascuno:

Quattro parametri, quattro ruoli

\text{ampiezza} = |A|, \quad \text{periodo} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{traslazione} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{asse centrale } y = k\text{.}

La parentesi verticale va dall’asse centrale a un massimo (a un minimo quando $A < 0$ ). La parentesi orizzontale copre un periodo. La freccia lungo l’asse centrale va da $x = 0$ a $x = -\varphi/\omega$ , dove ora inizia il ciclo di sin x. I punti blu sono i cinque punti notevoli di quel ciclo, dove $\omega x + \varphi$ è uguale a $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ e $2\pi$ : inizio, estremo $y = k + A$ , asse centrale, estremo $y = k - A$ e fine — prima un massimo e poi un minimo quando $A > 0$ , viceversa quando $A < 0$ .

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Cosa osservare

Dentro le parentesi, le modifiche agiscono lateralmente e sembrano inverse: $\omega = 2$ accorcia il periodo ( $\pi$ , non $4\pi$ ) e un $\varphi$ negativo sposta la curva a destra.
Variare $\omega$ comprime o dilata la curva attorno all’inizio del ciclo, $x = -\varphi/\omega$ : la pagina conserva quella traslazione mentre varia $\omega$ , quindi $\varphi = -\omega\cdot(\text{traslazione})$ cambia con esso.
La curva oscilla tra $k - |A|$ e $k + |A|$ , con l’asse centrale a metà. Un $A$ negativo la riflette rispetto all’asse centrale; l’ampiezza resta $|A|$ .

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Come leggerlo correttamente

La traslazione è $-\varphi/\omega$ , non $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ è $\sin 2x$ traslata di $\pi/3$ a destra. Funziona anche traslare prima: sposta $\sin x$ di $-\varphi$ , poi dividi le coordinate x per $\omega$ , dividendo così anche la traslazione.
Il periodo dipende solo da $\omega$ , l’ampiezza solo da $A$ . Con $A = 0$ la funzione è la costante $k$ : l’ampiezza è 0, nulla oscilla e non esiste un periodo minimo, quindi il periodo e $\varphi$ mostrano trattini. $\varphi$ viene calcolato dalla traslazione senza ridurlo a un intervallo; $\varphi$ e $\varphi + 2n\pi$ disegnano la stessa curva.
La pagina mantiene $\omega$ positivo. Un $\omega$ negativo non aggiunge nulla di nuovo: poiché $\sin(-u) = -\sin u$ , sostituisci $\omega$ con $|\omega|$ , $A$ con $-A$ e $\varphi$ con $-\varphi$ .

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Disegnare con i punti notevoli

Impostare $\omega x + \varphi$ a $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ dà $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ con $s = -\varphi/\omega$ e $T = 2\pi/\omega$ , e lì $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Rappresentare questi cinque punti e unirli con una curva regolare è il modo consueto di disegnare a mano un ciclo. La tabella Punti notevoli nel pannello li elenca per la funzione attuale; punta una colonna per evidenziare il suo punto sul grafico.

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Comandi

$A$ e $\omega$ su manopole; la traslazione $-\varphi/\omega$ su un cursore orizzontale (da $-\pi$ a $\pi$ , con aggancio ai multipli di $\pi/12$ ) e $k$ su uno verticale — come si muove la curva. Fai clic su un valore per digitarlo (la traslazione accetta π/6, 2π/3, -pi/4 o radianti). Sotto la traslazione, «≡» dà quella della stessa curva nell’altro verso: traslazioni distanti un periodo intero disegnano una sola curva.
Sul grafico, trascina l’inizio di un ciclo per traslare la curva, il primo estremo in alto o in basso per modificare $A$ e la fine lateralmente per cambiare il periodo.
Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (← → traslano la curva di $\pi/12$ , ↑ ↓ spostano l’asse centrale di 0.5, H nasconde i valori misurati).

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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Sine wave (Inglese); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (Inglese).