Sinüzoidal Fonksiyon: Genlik, Periyot ve Faz Kayması, Etkileşimli Grafik

01

Bu görselleştirmede sinüzoidal fonksiyonlar

Sinüzoidal fonksiyon veya sinüzoid, $A \ne 0$ ve $\omega > 0$ ile $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ biçimindeki fonksiyondur: $\sin x$ grafiğinin gerilmiş, sıkıştırılmış, ötelenmiş hali. $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ ile $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ olarak da yazılır. $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ olduğundan kosinüs eğrileri de sinüzoiddir. Panel $A$ ve $\omega$ için düğmeler ( $\omega$ ½ ile 4 arası), $-\varphi/\omega$ ötelemesi ve $k$ için sürgüler kullanır.

Kesikli eğri temel $y = \sin x$ , kesintisiz eğri paneldeki fonksiyondur. Sarı işaretler parametrelerin belirlediğini ölçer; her birinin tek görevi vardır:

Dört parametre, dört görev

\text{genlik} = |A|, \quad \text{periyot} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{öteleme} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{orta çizgi } y = k\text{.}

Düşey ayraç orta çizgiden tepeye uzanır ( $A < 0$ iken çukura). Yatay ayraç bir periyodu kapsar. Orta çizgi üzerindeki ok $x = 0$ noktasından sin x döngüsünün artık başladığı $x = -\varphi/\omega$ noktasına gider. Mavi noktalar, $\omega x + \varphi$ değerinin $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ ve $2\pi$ olduğu döngünün beş önemli noktasıdır: başlangıç, $y = k + A$ ekstremumu, orta çizgi, $y = k - A$ ekstremumu ve son. $A > 0$ iken önce tepe sonra çukur, $A < 0$ iken tersi.

02

Dikkat edilecekler

Parantez içindeki değişimler yatay etkir ve ters görünür: $\omega = 2$ periyodu kısaltır ( $4\pi$ değil $\pi$ ); negatif $\varphi$ eğriyi sağa taşır.
$\omega$ çevirmek eğriyi döngü başlangıcı $x = -\varphi/\omega$ çevresinde sıkıştırır veya gerer. Sayfa $\omega$ değişirken bu ötelemeyi korur; dolayısıyla $\varphi = -\omega\cdot(\text{öteleme})$ onunla değişir.
Eğri $k - |A|$ ile $k + |A|$ arasında salınır; orta çizgi ortadadır. Negatif $A$ eğriyi orta çizgiye göre ters çevirir; genlik yine $|A|$ olur.

03

Doğru okuma

Öteleme $-\varphi$ değil $-\varphi/\omega$ 'dır: $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ , $\sin 2x$ grafiğinin $\pi/3$ sağa ötelenmiş halidir. Önce ötelemek de olur: $\sin x$ grafiğini $-\varphi$ kadar taşıyın, sonra x koordinatlarını $\omega$ değerine bölün; öteleme de bölünür.
Periyot yalnızca $\omega$ , genlik yalnızca $A$ değerine bağlıdır. $A = 0$ olduğunda fonksiyon sabit $k$ olur: genlik 0, salınım yok, en küçük periyot yoktur; periyot ve $\varphi$ çizgi gösterir. $\varphi$ ötelemeden hesaplanır ve hiçbir aralığa indirgenmez; $\varphi$ ve $\varphi + 2n\pi$ aynı eğriyi çizer.
Sayfa $\omega$ değerini pozitif tutar. Negatif $\omega$ yeni şey katmaz: $\sin(-u) = -\sin u$ olduğundan $\omega$ yerine $|\omega|$ , $A$ yerine $-A$ , $\varphi$ yerine $-\varphi$ koyun.

04

Önemli noktalarla taslak çizme

$\omega x + \varphi$ değerini $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ yapmak, $s = -\varphi/\omega$ ve $T = 2\pi/\omega$ ile $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ verir; orada $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ olur. Bu beş noktayı çizip düzgün bağlamak, bir döngüyü elle çizmenin olağan yoludur. Paneldeki Önemli noktalar tablosu onları paneldeki fonksiyon için listeler. Noktasını grafikte aydınlatmak için sütuna işaret edin.

05

Kontroller

$A$ ve $\omega$ düğmelerde; $-\varphi/\omega$ ötelemesi yatay sürgüde ( $-\pi$ ile $\pi$ arasında, $\pi/12$ katlarına tutunur), $k$ düşey sürgüdedir: eğrinin hareket ettiği yönlerde. Yazmak için değere tıklayın (öteleme π/6, 2π/3, -pi/4 veya radyan kabul eder). Öteleme altında “≡”, aynı eğrinin diğer yöndeki ötelemesini verir: tam periyot farkla ötelemeler tek eğri çizer.
Grafikte eğriyi ötelemek için döngü başlangıcını, $A$ değiştirmek için ilk ekstremumu yukarı veya aşağı, periyodu değiştirmek için sonunu yana sürükleyin.
Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (← → eğriyi $\pi/12$ öteler, ↑ ↓ orta çizgiyi 0.5 taşır, H ölçülen değerleri gizler).

06

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Sine wave (İngilizce); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (İngilizce).