الدالة الجيبية: السعة والدور والإزاحة الطورية، رسم تفاعلي

01

الدوال الجيبية في هذا التصوّر

الدالة الجيبية هي دالة من الشكل $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ حيث $A \ne 0$ و $\omega > 0$ : منحنى $\sin x$ بعد مده أو ضغطه وإزاحته. وتُكتب أيضًا $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ ، حيث $B = \omega$ و $C = -\varphi/\omega$ و $D = k$ . منحنيات جيب التمام جيبية أيضًا، لأن $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . تتيح اللوحة تدوير $A$ و $\omega$ بمقبضين ( $\omega$ من ½ إلى 4)، وتغيير الإزاحة $-\varphi/\omega$ و $k$ بمنزلقين.

المنحنى المتقطع هو المنحنى الأصلي $y = \sin x$ ؛ والمنحنى المتصل هو الدالة الظاهرة في اللوحة. تقيس العلامات الصفراء ما تحدده المعاملات، ولكل معامل وظيفة واحدة:

أربعة معاملات، أربع وظائف

\text{السعة} = |A|, \quad \text{الدور} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{الإزاحة} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{خط المنتصف } y = k\text{.}

يمتد القوس الرأسي من خط المنتصف إلى قمة (إلى قاع عندما $A < 0$ ). ويمتد القوس الأفقي على دور واحد. يمتد السهم على خط المنتصف من $x = 0$ إلى $x = -\varphi/\omega$ ، حيث تبدأ الآن دورة sin x. النقاط الزرقاء هي النقاط الأساسية الخمس لتلك الدورة، حيث تساوي $\omega x + \varphi$ القيم $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ و $2\pi$ : البداية، والنقطة القصوى $y = k + A$ ، وخط المنتصف، والنقطة القصوى $y = k - A$ ، والنهاية؛ قمة ثم قاع عندما $A > 0$ ، والعكس عندما $A < 0$ .

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

داخل القوسين، تؤثر التغييرات أفقيًا وتبدو معكوسة: تجعل $\omega = 2$ الدور أقصر ( $\pi$ وليس $4\pi$ )، وتزيح $\varphi$ السالبة المنحنى يمينًا.
يؤدي تدوير $\omega$ إلى ضغط المنحنى أو مده حول بداية دورته، $x = -\varphi/\omega$ : تحتفظ الصفحة بتلك الإزاحة أثناء تدوير $\omega$ ، ولذلك تتغير $\varphi = -\omega\cdot(\text{الإزاحة})$ معها.
يتذبذب المنحنى بين $k - |A|$ و $k + |A|$ ، ويقع خط المنتصف في منتصف المسافة بينهما. تقلب قيمة $A$ السالبة المنحنى حول خط المنتصف؛ وتظل السعة $|A|$ .

03

قراءة الرسم بدقة

الإزاحة هي $-\varphi/\omega$ ، وليست $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ هي $\sin 2x$ مزاحة بمقدار $\pi/3$ يمينًا. ويمكن البدء بالإزاحة أيضًا: أزح $\sin x$ بمقدار $-\varphi$ ، ثم اقسم الإحداثيات السينية على $\omega$ ، فتُقسم الإزاحة كذلك.
يعتمد الدور على $\omega$ وحدها، والسعة على $A$ وحدها. عند $A = 0$ ، تكون الدالة هي الثابت $k$ : السعة 0، ولا شيء يتذبذب، ولا يوجد دور أصغر، ولذلك يُعرض الدور و $\varphi$ بشرطتين. يُحسب $\varphi$ من الإزاحة، ولا يُختزل إلى مجال بعينه؛ يرسم $\varphi$ و $\varphi + 2n\pi$ المنحنى نفسه.
تبقي الصفحة $\omega$ موجبة. لا تضيف $\omega$ السالبة شيئًا جديدًا: بما أن $\sin(-u) = -\sin u$ ، فاستبدل $\omega$ بـ $|\omega|$ ، و $A$ بـ $-A$ ، و $\varphi$ بـ $-\varphi$ .

04

الرسم بالنقاط الأساسية

بمساواة $\omega x + \varphi$ بالقيم $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ ، نحصل على $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ ، حيث $s = -\varphi/\omega$ و $T = 2\pi/\omega$ ، وعندها $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . رسم هذه النقاط الخمس ووصلها بسلاسة هو الطريقة المعتادة لرسم دورة واحدة باليد. يعرض جدول النقاط الأساسية في اللوحة تلك النقاط للدالة الحالية؛ مرّر المؤشر فوق عمود لإبراز نقطته على الرسم.

05

أدوات التحكم

يتحكم مقبضان في $A$ و $\omega$ ؛ وتتحكم في الإزاحة $-\varphi/\omega$ أداة انزلاق أفقية (من $-\pi$ إلى $\pi$ ، مع الالتقاط عند مضاعفات $\pi/12$ )، وفي $k$ أداة انزلاق رأسية، وفق اتجاه حركة المنحنى. انقر قيمة لكتابتها (تقبل الإزاحة π/6 أو 2π/3 أو -pi/4 أو قيمة بالراديان). تحت الإزاحة، تعطي «≡» إزاحة المنحنى نفسه في الاتجاه الآخر: الإزاحات التي يفصل بينها دور كامل ترسم منحنى واحدًا.
على الرسم، اسحب بداية دورة لإزاحة المنحنى، وأول نقطة قصوى فيه إلى أعلى أو أسفل لتغيير $A$ ، ونهايته أفقيًا لتغيير الدور.
يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (يزيح ← → المنحنى بمقدار $\pi/12$ ، ويحرك ↑ ↓ خط المنتصف بمقدار 0.5، ويخفي H القيم المقيسة).

06

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Sine wave (الإنجليزية); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (الإنجليزية).