Função sinusoidal: amplitude, período e desfasamento — gráfico interativo

01

Funções sinusoidais nesta visualização

Uma função sinusoidal, ou sinusoide, é uma função da forma $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ , com $A \ne 0$ e $\omega > 0$ : o gráfico de $\sin x$ alongado, comprimido e deslocado. Também se escreve $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , com $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ e $D = k$ . As curvas do cosseno também são sinusoides, pois $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . No painel, os botões rotativos ajustam $A$ e $\omega$ ( $\omega$ entre ½ e 4), e os controlos deslizantes ajustam o deslocamento $-\varphi/\omega$ e $k$ .

A curva tracejada é a curva de referência $y = \sin x$ ; a curva contínua é a função do painel. As marcas amarelas medem o que cada parâmetro define:

Quatro parâmetros, quatro funções

\text{amplitude} = |A|, \quad \text{período} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{deslocamento} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{linha média } y = k\text{.}

A marca vertical vai da linha média até um máximo (até um mínimo quando $A < 0$ ). A marca horizontal abrange um período. A seta ao longo da linha média vai de $x = 0$ a $x = -\varphi/\omega$ , onde agora começa o ciclo de sin x. Os pontos azuis são os cinco pontos notáveis desse ciclo, onde $\omega x + \varphi$ toma os valores $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ e $2\pi$ : o início, o extremo $y = k + A$ , a linha média, o extremo $y = k - A$ e o fim — primeiro um máximo e depois um mínimo quando $A > 0$ , e pela ordem inversa quando $A < 0$ .

02

O que observar

Dentro dos parênteses, as alterações atuam na horizontal e parecem invertidas: $\omega = 2$ encurta o período ( $\pi$ , não $4\pi$ ), e um $\varphi$ negativo desloca a curva para a direita.
Rodar $\omega$ comprime ou alonga a curva em torno do início do ciclo, $x = -\varphi/\omega$ : a página mantém esse deslocamento ao alterar $\omega$ , pelo que $\varphi = -\omega\cdot(\text{deslocamento})$ varia com ele.
A curva oscila entre $k - |A|$ e $k + |A|$ , com a linha média a meio. Um $A$ negativo reflete a curva nessa linha; a amplitude continua a ser $|A|$ .

03

Como interpretar corretamente

O deslocamento é $-\varphi/\omega$ , não $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ é $\sin 2x$ deslocada $\pi/3$ para a direita. Também é possível deslocar primeiro: mova $\sin x$ de $-\varphi$ e depois divida as coordenadas x por $\omega$ , o que também divide o deslocamento.
O período depende apenas de $\omega$ ; a amplitude, apenas de $A$ . Com $A = 0$ , a função é a constante $k$ : a amplitude é 0, nada oscila e não há período mínimo, pelo que o período e $\varphi$ aparecem como traços. $\varphi$ é calculado a partir do deslocamento, sem ser reduzido a qualquer intervalo; $\varphi$ e $\varphi + 2n\pi$ desenham a mesma curva.
A página mantém $\omega$ positivo. Um $\omega$ negativo não acrescenta nada de novo: como $\sin(-u) = -\sin u$ , basta substituir $\omega$ por $|\omega|$ , $A$ por $-A$ e $\varphi$ por $-\varphi$ .

04

Esboçar com os pontos notáveis

Fazer $\omega x + \varphi$ igual a $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ dá $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ , com $s = -\varphi/\omega$ e $T = 2\pi/\omega$ , e nesses pontos $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Marcar estes cinco pontos e uni-los suavemente é a forma habitual de esboçar um ciclo à mão. A tabela Pontos notáveis do painel apresenta-os para a função atual; aponte para uma coluna para destacar o respetivo ponto no gráfico.

05

Controlos

$A$ e $\omega$ usam botões rotativos; o deslocamento $-\varphi/\omega$ usa um controlo que desliza na horizontal (de $-\pi$ a $\pi$ , com encaixe nos múltiplos de $\pi/12$ ) e $k$ usa outro que desliza na vertical — tal como a curva se move. Clique num valor para o introduzir (o deslocamento aceita π/6, 2π/3, -pi/4 ou radianos). Por baixo do deslocamento, «≡» indica o deslocamento equivalente no sentido oposto: deslocamentos que diferem por um período completo desenham a mesma curva.
No gráfico, arraste o início de um ciclo para deslocar a curva, o primeiro extremo para cima ou para baixo para alterar $A$ , e o fim para os lados para alterar o período.
O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (← → deslocam a curva de $\pi/12$ , ↑ ↓ movem a linha média em 0.5 e H oculta os valores medidos).

06

Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Sine wave (Inglês); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (Inglês).