Función sinusoidal: amplitud, periodo y desplazamiento de fase, gráfica interactiva

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Las funciones sinusoidales en esta visualización

Una función sinusoidal, o sinusoide, es una función de la forma $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ con $A \ne 0$ y $\omega > 0$ : la gráfica de $\sin x$ estirada, comprimida y desplazada. También se escribe $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , con $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ . Las curvas coseno también son sinusoides, porque $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . El panel ajusta $A$ y $\omega$ con mandos ( $\omega$ de ½ a 4) y mueve el desplazamiento $-\varphi/\omega$ y $k$ con deslizadores.

La curva discontinua es la base $y = \sin x$ ; la continua es la función del panel. Las marcas amarillas miden lo que determina cada parámetro, una tarea por parámetro:

Cuatro parámetros, cuatro funciones

\text{amplitud} = |A|, \quad \text{periodo} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{desplazamiento} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{línea media } y = k\text{.}

La llave vertical va de la línea media a un máximo (a un mínimo cuando $A < 0$ ). La horizontal abarca un periodo. La flecha sobre la línea media va de $x = 0$ a $x = -\varphi/\omega$ , donde empieza ahora el ciclo de sin x. Los puntos azules son los cinco puntos clave de ese ciclo, donde $\omega x + \varphi$ vale $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ y $2\pi$ : el inicio, el extremo $y = k + A$ , la línea media, el extremo $y = k - A$ y el final; primero un máximo y luego un mínimo cuando $A > 0$ , al revés cuando $A < 0$ .

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En qué fijarse

Dentro del paréntesis, los cambios actúan horizontalmente y parecen ir al revés: $\omega = 2$ acorta el periodo ( $\pi$ , no $4\pi$ ), y un $\varphi$ negativo mueve la curva a la derecha.
Girar $\omega$ comprime o estira la curva alrededor del inicio de su ciclo, $x = -\varphi/\omega$ : la página conserva ese desplazamiento al girar $\omega$ , así que $\varphi = -\omega\cdot(\text{desplazamiento})$ cambia con él.
La curva oscila entre $k - |A|$ y $k + |A|$ , con la línea media a mitad de camino. Un $A$ negativo la invierte respecto a esa línea; la amplitud sigue siendo $|A|$ .

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Cómo interpretarlo

El desplazamiento es $-\varphi/\omega$ , no $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ es $\sin 2x$ desplazada $\pi/3$ a la derecha. Desplazar primero también funciona: mueve $\sin x$ en $-\varphi$ y después divide las coordenadas x entre $\omega$ , lo que divide también el desplazamiento.
El periodo solo depende de $\omega$ ; la amplitud, de $A$ . Con $A = 0$ , la función es la constante $k$ : la amplitud es 0, nada oscila y no hay periodo mínimo, por lo que el periodo y $\varphi$ aparecen como guiones. $\varphi$ se calcula a partir del desplazamiento y no se reduce a ningún intervalo; $\varphi$ y $\varphi + 2n\pi$ dibujan la misma curva.
La página mantiene $\omega$ positivo. Un $\omega$ negativo no añade nada nuevo: como $\sin(-u) = -\sin u$ , sustituye $\omega$ por $|\omega|$ , $A$ por $-A$ y $\varphi$ por $-\varphi$ .

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Dibujar con puntos clave

Igualar $\omega x + \varphi$ a $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ da $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ con $s = -\varphi/\omega$ y $T = 2\pi/\omega$ , y allí $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Situar estos cinco puntos y unirlos suavemente es la forma habitual de dibujar un ciclo a mano. La tabla Puntos clave del panel los enumera para su función; apunta a una columna para iluminar su punto en la gráfica.

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Controles

$A$ y $\omega$ en mandos; el desplazamiento $-\varphi/\omega$ en un deslizador horizontal (de $-\pi$ a $\pi$ , con ajuste a múltiplos de $\pi/12$ ) y $k$ en uno vertical, igual que se mueve la curva. Haz clic en un valor para escribirlo (el desplazamiento acepta π/6, 2π/3, -pi/4 o radianes). Bajo el desplazamiento, «≡» da el de la misma curva en el otro sentido: desplazamientos separados por un periodo completo dibujan la misma curva.
En la gráfica, arrastra el inicio de un ciclo para desplazar la curva, su primer extremo arriba o abajo para cambiar $A$ y su final lateralmente para cambiar el periodo.
Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (← → desplazan la curva $\pi/12$ , ↑ ↓ mueven la línea media 0.5 y H oculta los valores medidos).

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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Sine wave (Inglés); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (Inglés).