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Trigonometría y precálculo · Circunferencia unidad

Circunferencia unidad

La circunferencia unidad tiene radio 1 y centro en el origen; su punto de ángulo θ es (cos θ, sin θ). Arrástralo y observa cómo surgen del dibujo los signos, los valores notables y la tangente.

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La circunferencia unidad en esta visualización

La circunferencia unidad tiene radio 1 y centro en el origen, x2+y2=1x^2 + y^2 = 1. Un ángulo θ\theta se mide desde el semieje x positivo, en sentido antihorario si es positivo; termina en un punto P de la circunferencia, y el coseno y el seno se definen como las coordenadas de ese punto. Esto los define para cualquier ángulo —obtuso, negativo o mayor que una vuelta completa—, no solo para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Cuando cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0, la tangente es su cociente. La página expresa cada ángulo en radianes y en grados, θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ.

La definición y la ecuación de la circunferencia
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

En el dibujo, los dos catetos del triángulo de referencia, de O a (cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0) y desde ahí hacia arriba o abajo hasta P, son cos θ y sin θ como desplazamientos orientados: positivos hacia la derecha y arriba, negativos hacia la izquierda y abajo. La recta OP corta a la vertical x=1x = 1 en T =(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta), por lo que tan θ es la pendiente de OP; cuando θ es π/2+nπ\pi/2 + n\pi, las dos rectas son paralelas y tan θ no existe. T está en la semirrecta OP cuando cos θ > 0 y detrás de O, en su prolongación hacia atrás, cuando cos θ < 0, es decir, cuando sec θ < 0; tan θ puede tener entonces cualquier signo (en 210° es √3/3). Como P está en la circunferencia, cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 es la propia ecuación de esta. Al reflejar P respecto de los ejes y del origen se obtienen los puntos de π−θ\pi - \theta, π+θ\pi + \theta y −θ-\theta: el mismo triángulo con otros signos, de donde surgen las fórmulas de reducción como sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta. Los ángulos que difieren en vueltas completas (ángulos coterminales, como 13π/613\pi/6 y π/6\pi/6) terminan en el mismo punto y comparten todos sus valores.

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En qué fijarse

  • Los valores exactos de los 16 ángulos notables (múltiplos de 30° y 45°) proceden de dos triángulos: la mitad de uno equilátero para 30° y 60°, y el triángulo rectángulo isósceles para 45°. Con un ángulo de referencia de 30°, 45° o 60°, aparece automáticamente el triángulo que explica el valor: da el valor absoluto (en 30°, la cuerda PP′ mide 1 y |sin θ| es su mitad), y el cuadrante da el signo. Un ángulo introducido como fracción de π o en grados se conserva de forma exacta; las expresiones exactas como 3/2\sqrt{3}/2 solo aparecen en los ángulos notables, y cualquier otro valor es un decimal marcado con ≈.
  • Con Las seis, U es el punto donde la recta OP corta a y=1y = 1: cot θ es el segmento de y = 1 hasta U, y sec θ y csc θ son las longitudes con signo OT y OU, negativas cuando T o U están detrás de O, en la prolongación hacia atrás de OP. tan y sec no existen en π/2+nπ\pi/2 + n\pi, y cot y csc en nπn\pi.
  • La escala es fija: nunca se elige a partir del valor de tan. Cuando T (o U) queda fuera de la gráfica, una flecha en el borde apunta hacia él e indica su posición; puedes seguir cambiando el zoom, igual en ambos ejes. Tras una vuelta, el arco del ángulo forma una espiral hacia fuera para mostrar las vueltas acumuladas —el ensanchamiento en sí no significa nada—; después de tres vueltas, solo se dibuja la última y se cuenta el resto («+4 vueltas», «−2 vueltas»).
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Controles

  • Las teclas de valores 0°, 30°, 45°, 60° y 90° fijan el ángulo de forma exacta. Cerca de un ángulo notable, P se ajusta a él al arrastrarlo; si sigues arrastrando, se suelta. Al pulsar el punto de un ángulo notable, P se desplaza hasta él por el camino más corto. El ángulo puede introducirse en radianes (2π/3, o un decimal como 2.0944, que se conserva como decimal) o en grados (120°), de −20π a 20π; las flechas de P avanzan de un grado en un grado.
  • El Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores: ← → recorren los ángulos notables, H oculta todos los valores y mantiene el dibujo.
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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Unit circle (Inglés); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Inglés).