Единичная окружность: интерактивная визуализация

01

Единичная окружность в этой визуализации

Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат, $x^2 + y^2 = 1$ . Угол $\theta$ отсчитывается от положительного направления оси x, против часовой стрелки при положительном значении; он задаёт точку P на окружности, а косинус и синус определяются как координаты этой точки. Так они определяются для любого угла — тупого, отрицательного или больше полного оборота, а не только для острых углов прямоугольного треугольника. При $\cos\theta \ne 0$ тангенс равен их отношению. Страница записывает каждый угол в радианах и градусах, $\theta = 2\pi/3 = 120^\circ$ .

Определение и уравнение окружности

P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

На рисунке два катета опорного треугольника, от O до $(\cos\theta, 0)$ и оттуда вверх или вниз до P, — это cos θ и sin θ как направленные перемещения: вправо и вверх положительные, влево и вниз отрицательные. Прямая OP пересекает вертикальную прямую $x = 1$ в T $= (1, \tan\theta)$ , поэтому tan θ — наклон OP; при θ, равном $\pi/2 + n\pi$ , прямые параллельны и tan θ не существует. T лежит на луче OP при cos θ > 0 и позади O, на продолжении в обратную сторону, при cos θ < 0, то есть при sec θ < 0; знак tan θ при этом может быть любым (при 210° это √3/3). Поскольку P лежит на окружности, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ — уравнение самой окружности. Отражения P относительно осей и начала координат дают точки для $\pi - \theta$ , $\pi + \theta$ и $-\theta$ : тот же треугольник с другими знаками. Отсюда берутся формулы приведения, например $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ . Углы, отличающиеся на целое число оборотов (углы с общей конечной стороной, например $13\pi/6$ и $\pi/6$ ), заканчиваются в одной точке и имеют одинаковые значения всех функций.

02

На что обратить внимание

Точные значения для 16 особых углов (кратных 30° и 45°) следуют из двух треугольников: половины равностороннего для 30° и 60° и равнобедренного прямоугольного для 45°. При опорном угле 30°, 45° или 60° соответствующий треугольник появляется автоматически: он даёт модуль значения (при 30° хорда PP′ равна 1, а |sin θ| — её половина), четверть задаёт знак. Угол, введённый как доля π или в градусах, сохраняется точно; выражения вроде $\sqrt{3}/2$ появляются лишь для особых углов, остальные значения — десятичные приближения со знаком ≈.
В режиме «Все шесть» точка U — пересечение прямой OP с $y = 1$ : cot θ — направленный отрезок на y = 1 до U, а sec θ и csc θ — длины OT и OU со знаком, отрицательные, когда T или U лежит позади O, на обратном продолжении OP. tan и sec не существуют при $\pi/2 + n\pi$ , cot и csc — при $n\pi$ .
Масштаб фиксирован и никогда не подбирается по значению tan. Когда T (или U) находится за границей графика, стрелка на краю указывает на неё и показывает её положение; масштаб всё ещё можно менять одинаково по обеим осям. После одного оборота дуга угла расходится наружу спиралью, показывая обороты; само расширение ничего не означает. После трёх оборотов рисуется лишь последний, а остальные указаны числом («+4 оборота», «−2 оборота»).

03

Управление

Клавиши значений 0°, 30°, 45°, 60° и 90° задают угол точно. Вблизи особого угла перетаскиваемая P привязывается к нему; продолжите движение, и привязка отпустит. Нажатие на точку особого угла отправляет туда P кратчайшим путём. Угол можно ввести в радианах (2π/3 или десятичное число, например 2.0944, которое останется десятичным) либо в градусах (120°), от −20π до 20π; стрелки точки P меняют угол на один градус.
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора: ← → переходят между особыми углами, H скрывает все значения, сохраняя рисунок.

04

Связанные темы

C02Синус и косинус
C03Синусоидальная функция
B08РадианПланируется
B04Теорема ПифагораПланируется

Дополнительные материалы: Википедия: Unit circle (Английский); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Английский).