Синусоидальная функция: амплитуда, период и фазовый сдвиг

01

Синусоидальные функции в этой визуализации

Синусоидальная функция, или синусоида, имеет вид $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ при $A \ne 0$ и $\omega > 0$ : это график $\sin x$ после растяжения, сжатия и сдвига. Другая запись: $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ , где $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ . Графики косинуса тоже синусоиды, поскольку $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . На панели $A$ и $\omega$ меняются ручками ( $\omega$ от ½ до 4), а сдвиг $-\varphi/\omega$ и $k$ — ползунками.

Пунктирная кривая — исходная $y = \sin x$ , сплошная — функция с панели. Жёлтые отметки измеряют величины, задаваемые параметрами; каждому соответствует своя задача:

Четыре параметра, четыре задачи

\text{амплитуда} = |A|, \quad \text{период} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{сдвиг} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{средняя линия } y = k\text{.}

Вертикальная скобка идёт от средней линии до вершины (до впадины при $A < 0$ ). Горизонтальная охватывает один период. Стрелка вдоль средней линии идёт от $x = 0$ до $x = -\varphi/\omega$ , где теперь начинается период sin x. Синие точки — пять ключевых точек этого периода, в которых $\omega x + \varphi$ равно $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ и $2\pi$ : начало, экстремум $y = k + A$ , средняя линия, экстремум $y = k - A$ и конец. При $A > 0$ сначала идёт вершина, затем впадина; при $A < 0$ — наоборот.

02

На что обратить внимание

Внутри скобок изменения действуют по горизонтали и кажутся обратными: $\omega = 2$ сокращает период ( $\pi$ , а не $4\pi$ ), а отрицательное $\varphi$ сдвигает кривую вправо.
Изменение $\omega$ сжимает или растягивает кривую относительно начала её периода, $x = -\varphi/\omega$ : страница сохраняет этот сдвиг при вращении $\omega$ , поэтому $\varphi = -\omega\cdot(\text{сдвиг})$ меняется вместе с ним.
Кривая колеблется между $k - |A|$ и $k + |A|$ , а средняя линия проходит посередине. Отрицательное $A$ отражает кривую относительно средней линии; амплитуда по-прежнему равна $|A|$ .

03

Как читать правильно

Сдвиг равен $-\varphi/\omega$ , а не $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ — это $\sin 2x$ , сдвинутый на $\pi/3$ вправо. Можно сначала выполнить сдвиг: переместить $\sin x$ на $-\varphi$ , затем разделить x-координаты на $\omega$ — при этом сдвиг тоже разделится.
Период зависит только от $\omega$ , амплитуда — только от $A$ . При $A = 0$ функция постоянна и равна $k$ : амплитуда 0, колебаний и наименьшего периода нет, поэтому в полях периода и $\varphi$ стоят прочерки. $\varphi$ вычисляется по сдвигу без приведения к какому-либо интервалу; $\varphi$ и $\varphi + 2n\pi$ задают одну и ту же кривую.
На этой странице $\omega$ всегда положительно. Отрицательное $\omega$ ничего нового не даёт: поскольку $\sin(-u) = -\sin u$ , замените $\omega$ на $|\omega|$ , $A$ на $-A$ , а $\varphi$ на $-\varphi$ .

04

Построение по ключевым точкам

Приравнивая $\omega x + \varphi$ к $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ , получаем $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ , где $s = -\varphi/\omega$ и $T = 2\pi/\omega$ ; в этих точках $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Отметить эти пять точек и плавно соединить их — обычный способ построить один период от руки. Таблица «Ключевые точки» на панели перечисляет их для текущей функции; наведите указатель на столбец, чтобы подсветить его точку на графике.

05

Управление

$A$ и $\omega$ задаются ручками, сдвиг $-\varphi/\omega$ — горизонтальным ползунком (от $-\pi$ до $\pi$ , с привязкой к кратным $\pi/12$ ), а $k$ — вертикальным: так же движется кривая. Нажмите на значение, чтобы ввести его (сдвиг принимает π/6, 2π/3, -pi/4 или радианы). Под сдвигом знак «≡» показывает сдвиг той же кривой в другую сторону: сдвиги, отличающиеся на целый период, дают одну кривую.
На графике перетаскивайте начало периода, чтобы сдвинуть кривую, первый экстремум вверх или вниз, чтобы изменить $A$ , и конец периода вбок, чтобы изменить период.
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (← → сдвигают кривую на $\pi/12$ , ↑ ↓ перемещают среднюю линию на 0.5, H скрывает измеренные значения).

06

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Sine wave (Английский); OpenStax, Precalculus 2e, 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (Английский).