正弦型函數：振幅、週期與相位平移的互動圖形

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這個視覺化中的正弦型函數

正弦型函數的形式為 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ ，其中 $A \ne 0$ 、 $\omega > 0$ ：也就是 $\sin x$ 的圖形經過伸縮與平移。也可寫為 $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ ，其中 $B = \omega$ 、 $C = -\varphi/\omega$ 、 $D = k$ 。餘弦曲線也是正弦型函數，因為 $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ 。面板上的旋鈕控制 $A$ 和 $\omega$ （ $\omega$ 從 ½ 到 4），滑桿則控制平移量 $-\varphi/\omega$ 和 $k$ 。

虛線是母函數 $y = \sin x$ ；實線是面板所示函數。黃色標記量出各參數控制的量，各自對應一種作用：

四個參數，四種作用

\text{振幅} = |A|, \quad \text{週期} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{平移} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{中線 } y = k\text{。}

垂直括號從中線延伸到波峰（ $A < 0$ 時到波谷）。水平括號跨越一個週期。中線上的箭頭從 $x = 0$ 指向 $x = -\varphi/\omega$ ，後者是 sin x 的週期現在開始的位置。藍點是一個週期的五個關鍵點， $\omega x + \varphi$ 在這些位置等於 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ 和 $2\pi$ ：起點、極值 $y = k + A$ 、中線、極值 $y = k - A$ 、終點—— $A > 0$ 時先波峰後波谷， $A < 0$ 時則相反。

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值得觀察的地方

括號裡的變化沿水平方向作用，看起來像是反過來： $\omega = 2$ 使週期縮短（ $\pi$ ，不是 $4\pi$ ），負的 $\varphi$ 則使曲線右移。
調整 $\omega$ ，會以週期起點 $x = -\varphi/\omega$ 為中心壓縮或拉伸曲線：本頁在調整 $\omega$ 時保留平移量，因此 $\varphi = -\omega\cdot(\text{平移})$ 也會跟著改變。
曲線在 $k - |A|$ 與 $k + |A|$ 之間振盪，中線位於正中間。負的 $A$ 讓曲線對中線翻轉；振幅仍是 $|A|$ 。

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如何正確閱讀

平移量是 $-\varphi/\omega$ ，不是 $-\varphi$ ： $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ 是將 $\sin 2x$ 向右平移 $\pi/3$ 。先平移也可以：將 $\sin x$ 平移 $-\varphi$ ，再把 x 座標除以 $\omega$ ，平移量也會一起被除。
週期只依賴 $\omega$ ，振幅只依賴 $A$ 。當 $A = 0$ 時，函數是常數 $k$ ：振幅為 0，沒有振盪，也沒有最小正週期，因此週期與 $\varphi$ 都顯示破折號。 $\varphi$ 由平移量算出，不縮限到特定區間； $\varphi$ 與 $\varphi + 2n\pi$ 畫出同一條曲線。
本頁讓 $\omega$ 保持正值。負的 $\omega$ 不會帶來新的曲線：因為 $\sin(-u) = -\sin u$ ，只要將 $\omega$ 換成 $|\omega|$ 、 $A$ 換成 $-A$ 、 $\varphi$ 換成 $-\varphi$ 即可。

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用關鍵點描圖

將 $\omega x + \varphi$ 設為 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ ，得到 $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ ，其中 $s = -\varphi/\omega$ 、 $T = 2\pi/\omega$ ，此時 $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ 。標出這五個點再平滑連接，是手繪一個週期的常見方法。面板的關鍵點表列出目前函數的這些點；指向表格中的某一直行，圖上的對應點就會亮起。

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操作方式

$A$ 與 $\omega$ 使用旋鈕；平移量 $-\varphi/\omega$ 使用水平滑桿（ $-\pi$ 到 $\pi$ ，吸附到 $\pi/12$ 的倍數）， $k$ 則使用垂直滑桿——方向與曲線移動一致。按下數值即可輸入（平移量接受 π/6、2π/3、-pi/4 或弧度）。平移量下的「≡」表示同一曲線往另一方向的平移量：相差一整個週期的平移會畫出同一曲線。
在圖上拖曳週期起點來平移曲線，上下拖曳第一個極值點來改變 $A$ ，左右拖曳終點來改變週期。
簡報模式開啟適合投影的全螢幕畫面（← → 每次平移曲線 $\pi/12$ ，↑ ↓ 每次移動中線 0.5，H 隱藏量測數值）。

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